حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 e^{\frac{t}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = \frac{t}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.7

اجمع $e^{\frac{t}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.8

اجمع $4$ و $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $4 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.2.9.2.4

اقسِم $2 e^{\frac{t}{2}}$ على $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ و $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 e^{\frac{t}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.6

اجمع $e^{\frac{t}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.7

اجمع $2$ و $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.2.8.2

اقسِم $e^{\frac{t}{2}}$ على $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $e^{\frac{t}{2}}$ و $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{2}$ .

$e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2.4

اضرب $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ في $1$ .

$f''' (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

خطوة 4.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $e^{\frac{t}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

خطوة 4.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \cdot 1$

خطوة 4.3.5

اضرب $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ في $1$ .

$f^{4} (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $P (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$