حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{(x^{3} - 1)}{x (x^{3} + 1)}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x (x^{3} + 1)}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x (x^{3} + 1)}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x (x^{3} + 1)}$

خطوة 1.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} + 1)}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} + 1^{3})}$

خطوة 1.1.5

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

خطوة 1.1.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

خطوة 1.1.6.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

خطوة 1.1.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C x + D}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x (x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.5

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 1.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 1.5.3.2

اقسِم $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ على $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.6

وسّع $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot 1$ و $- 1 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.1.2

اطرح $1 x$ من $1 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.1.3

أضف $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ و $0$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 1.7.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.2.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.7.3.2

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$x^{3} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.1.2

اقسِم $A ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$ على $1$ .

$x^{3} - 1 = A ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.2

وسّع $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{3} - 1 = A (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} - 1 = A (x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.3.1

انقُل $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.6

اضرب $- x$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.3.7

اضرب $1$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x + 0 - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.4.2

أضف $x^{3} + x$ و $0$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + 0 + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.4.4

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.6

اضرب $A$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + \frac{B (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.7.2

اقسِم $(B) (x (x^{2} - x + 1))$ على $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + (B) (x (x^{2} - x + 1)) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.8

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.9.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.9.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.9.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.9.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.9.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.9.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.9.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x \cdot x + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.10

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.10.1

انقُل $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - (x \cdot x) + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.10.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x^{2} + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.11

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} + B (- x^{2}) + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.13

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.13.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 1.8.13.2

اقسِم $(C x + D) (x (x + 1))$ على $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x (x + 1))$

خطوة 1.8.14

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot 1)$

خطوة 1.8.15

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x^{2} + x \cdot 1)$

خطوة 1.8.16

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x^{2} + x)$

خطوة 1.8.17

وسّع $(C x + D) (x^{2} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x (x^{2} + x) + D (x^{2} + x)$

خطوة 1.8.17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x \cdot x^{2} + C x \cdot x + D (x^{2} + x)$

خطوة 1.8.17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x \cdot x^{2} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.18.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.18.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C (x^{2} x) + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.18.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C (x^{2} x) + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{2 + 1} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.18.2.1

انقُل $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C (x \cdot x) + D x^{2} + D x$

خطوة 1.8.18.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

خطوة 1.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

انقُل $B$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

خطوة 1.9.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

خطوة 1.9.3

انقُل $A$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x + A$

خطوة 1.9.4

انقُل $B x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} - x^{2} B + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + B x + D x + A$

خطوة 1.9.5

انقُل $- x^{2} B$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - x^{2} B + C x^{2} + D x^{2} + B x + D x + A$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{3}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B + C$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = - 1 B + C + D$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = B + D$

خطوة 2.4

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 1 = A$

خطوة 2.5

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$- 1 = A$

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$- 1 = A$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = - 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = A + B + C$ بـ $- 1$ .

$1 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 1 + B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 + B + C = 1$ .

$- 1 + B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$B + C = 1 + 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$B = 1 + 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.3.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $2 - C$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $0 = - 1 B + C + D$ بـ $2 - C$ .

$0 = - 1 (2 - C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $- 1 (2 - C) + C + D$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 = - 1 \cdot 2 - 1 (- C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 = - 2 - 1 (- C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.2.1.1.3

اضرب $- 1 (- C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 = - 2 + 1 C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.2.1.1.3.2

اضرب $C$ في $1$ .

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.2.1.2

أضف $C$ و $C$ .

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $0 = B + D$ بـ $2 - C$ .

$0 = (2 - C) + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

خطوة 3.4.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

احذِف الأقواس.

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب $2$ و $- C$ .

$B = - C + 2$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $D$ في $0 = 2 - C + D$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 - C + D = 0$ .

$2 - C + D = 0$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

خطوة 3.6.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $D$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- C + D = - 2$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

خطوة 3.6.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

خطوة 3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ بـ $- 2 + C$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ في $0 = - 2 + 2 C + D$ بـ $- 2 + C$ .

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.7.2

بسّط $0 = - 2 + 2 C - 2 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

احذِف الأقواس.

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

بسّط $- 2 + 2 C - 2 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

اطرح $2$ من $- 2$ .

$0 = 2 C - 4 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.7.2.2.1.2

أضف $2 C$ و $C$ .

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.8

أوجِد قيمة $C$ في $0 = 3 C - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 C - 4 = 0$ .

$3 C - 4 = 0$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.8.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 C = 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.8.3

اقسِم كل حد في $3 C = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

اقسِم كل حد في $3 C = 4$ على $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 C}{3} = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.8.3.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $\frac{4}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $D = - 2 + C$ بـ $\frac{4}{3}$ .

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2

بسّط $D = - 2 + \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

احذِف الأقواس.

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1

بسّط $- 2 + \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1.1

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$D = - 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{3}$ .

$D = \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$D = \frac{- 2 \cdot 3 + 4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1.4.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$D = \frac{- 6 + 4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2.1.4.2

أضف $- 6$ و $4$ .

$D = \frac{- 2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = \frac{- 2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.2.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

خطوة 3.9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $B = - C + 2$ بـ $\frac{4}{3}$ .

$B = - (\frac{4}{3}) + 2$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.9.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1

بسّط $- (\frac{4}{3}) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1.1

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$B = - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.9.4.1.2

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$B = - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.9.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$B = \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.9.4.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$B = \frac{- 4 + 6}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.9.4.1.4.2

أضف $- 4$ و $6$ .

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

خطوة 3.10

اسرِد جميع الحلول.

$B = \frac{2}{3}, D = - \frac{2}{3}, C = \frac{4}{3}, A = - 1$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C x + D}{x^{2} - x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ و $D$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{2}{3}}{x^{2} - x + 1}$

خطوة 5

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{4 x}{3} - \frac{2}{3}}{x^{2} - x + 1}$