حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 17$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 17$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{2} - 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$12 x^{2} - 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [17]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $17$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $17$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{2} - 6 x - 6 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $12 x^{2} - 6 x - 6$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 6$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{2} - 6 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$24 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$24 x - 6 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $24 x - 6$ و $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 6$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 x - 6$ .

$24 x - 6$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $24 x - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 x - 6 = 0$

خطوة 2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$24 x = 6$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $24 x = 6$ على $24$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $24 x = 6$ على $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{6}{24}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{24 x}{24} = \frac{6}{24}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{24}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$x = \frac{6 (1)}{24}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $24$ .

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{1}{4}$ في $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 17$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 4 {(\frac{1}{4})}^{3} - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 4 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{4}) = 4 (\frac{1}{4^{3}}) - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 4 (\frac{1}{64}) - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$f (\frac{1}{4}) = 4 (\frac{1}{4 (16)}) - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 16}) - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - 3 {(\frac{1}{4})}^{2} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - 3 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - 3 \frac{1}{4^{2}} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.7

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - 3 (\frac{1}{16}) - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.8

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{16}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} + \frac{- 3}{16} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} - 6 (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.10.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.10.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.10.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.10.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} - 3 (\frac{1}{2}) + 17$

خطوة 3.1.2.1.11

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + \frac{- 3}{2} + 17$

خطوة 3.1.2.1.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} - \frac{3}{2} + 17$

خطوة 3.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 17 + \frac{1 - 3}{16} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 17 + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اكتب $17$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17}{1} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $\frac{17}{1}$ في $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.1.2.3.3

اضرب $\frac{17}{1}$ في $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17 \cdot 16}{16} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.1.2.3.4

اضرب $\frac{- 3}{2}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17 \cdot 16}{16} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 3.1.2.3.5

اضرب $\frac{- 3}{2}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17 \cdot 16}{16} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

خطوة 3.1.2.3.6

اضرب $2$ في $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17 \cdot 16}{16} + \frac{- 2}{16} + \frac{- 3 \cdot 8}{16}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{17 \cdot 16 - 2 - 3 \cdot 8}{16}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $17$ في $16$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{272 - 2 - 3 \cdot 8}{16}$

خطوة 3.1.2.5.2

اضرب $- 3$ في $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{272 - 2 - 24}{16}$

خطوة 3.1.2.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

اطرح $2$ من $272$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{270 - 24}{16}$

خطوة 3.1.2.6.2

اطرح $24$ من $270$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{246}{16}$

خطوة 3.1.2.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $246$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $246$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{2 (123)}{16}$

خطوة 3.1.2.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 8}$

خطوة 3.1.2.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 8}$

خطوة 3.1.2.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{123}{8}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{123}{8}$ .

$\frac{123}{8}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{1}{4}$ في $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 17$ هي $(\frac{1}{4}, \frac{123}{8})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{1}{4}, \frac{123}{8})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{1}{4})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.15$ في العبارة.

$f'' (0.15) = 24 (0.15) - 6$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $24$ في $0.15$ .

$f'' (0.15) = 3.6 - 6$

خطوة 5.2.2

اطرح $6$ من $3.6$ .

$f'' (0.15) = - 2.4$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.4$ .

$- 2.4$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $0.15$ يساوي $- 2.4$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{1}{4})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{1}{4})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{4}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.35$ في العبارة.

$f'' (0.35) = 24 (0.35) - 6$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $24$ في $0.35$ .

$f'' (0.35) = 8.4 - 6$

خطوة 6.2.2

اطرح $6$ من $8.4$ .

$f'' (0.35) = 2.4$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $2.4$ .

$2.4$

خطوة 6.3

في $0.35$ ، المشتق الثاني هو $2.4$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{4}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{1}{4}, \frac{123}{8})$ .

$(\frac{1}{4}, \frac{123}{8})$

خطوة 8