حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} (5 x + 20)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 5 x + 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 20] + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 20$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $5$ في $1$ .

$x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $20$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{3} (5 + 0) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $5$ و $0$ .

$x^{3} \cdot 5 + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.6.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{3}$ .

$5 \cdot x^{3} + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 x^{3} + (5 x + 20) (3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.8

انقُل $3$ إلى يسار $5 x + 20$ .

$5 x^{3} + 3 \cdot (5 x + 20) x^{2}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{3} + (3 (5 x) + 3 \cdot 20) x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{3} + 3 (5 x) x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $5$ في $3$ .

$5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x) + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{3} + 15 x^{2 + 1} + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 3 \cdot 20 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 1.1.3.3.4

أضف $5 x^{3}$ و $15 x^{3}$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x^{3} + 60 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $60 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $60 x$ من $60 x^{2} + 120 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $60 x$ من $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $60 x$ من $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $60 x$ من $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $60 x (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{3} (5 (0) + 20)$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 (5 (0) + 20)$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $5$ في $0$ .

$f (0) = 0 (0 + 20)$

خطوة 3.1.2.3

أضف $0$ و $20$ .

$f (0) = 0 \cdot 20$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $0$ في $20$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} (5 (- 2) + 20)$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = - 8 (5 (- 2) + 20)$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 (- 10 + 20)$

خطوة 3.3.2.3

أضف $- 10$ و $20$ .

$f (- 2) = - 8 \cdot 10$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $- 8$ في $10$ .

$f (- 2) = - 80$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $- 80$ .

$- 80$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ هي $(- 2, - 80)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, - 80)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $60$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $120$ في $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

خطوة 5.2.2

اطرح $252$ من $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $12.6$ .

$12.6$

خطوة 5.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $12.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $60$ في $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $120$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

خطوة 6.2.2

اطرح $120$ من $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 60$ .

$- 60$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1$ يساوي $- 60$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, 0)$

تناقص خلال $(- 2, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $60$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $120$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

خطوة 7.2.2

أضف $0.6$ و $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $12.6$ .

$12.6$

خطوة 7.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $12.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

خطوة 9