حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

خطوة 1.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 1.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

خطوة 1.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.3.8

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.3.9

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 1.2.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

خطوة 1.2.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 1.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 1.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

خطوة 1.2.2.9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

خطوة 1.2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

خطوة 1.2.2.11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.13

اضرب $x^{- \frac{2}{3}}$ في $x^{- \frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.13.3

اطرح $2$ من $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.13.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

خطوة 1.2.2.14

انقُل $x^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

خطوة 1.2.2.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 1.2.2.16

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 1.2.2.17

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 1.2.2.18

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

خطوة 2.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ في $9 x^{\frac{4}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ في $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

انقُل $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.2

اضرب $x^{\frac{4}{3}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.5

أضف $4$ و $3$ .

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3

اضرب $2$ في $9$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

اضرب $9$ في $0$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.3.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{\frac{4}{3}}$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

خطوة 2.4.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{3}{7}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $18 x^{\frac{7}{3}}$ .

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.3

بسّط.

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.3.1.4

أعِد ترتيب العوامل في $18^{\frac{3}{7}} x$ .

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 2.4.4

اقسِم كل حد في $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ على $18^{\frac{3}{7}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اقسِم كل حد في $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ على $18^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

خطوة 2.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

خطوة 2.4.4.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ في العبارة.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.2

اجمع.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ في $1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب الأُسس في ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.4.2

اضرب $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.2.1

اجمع $\frac{3}{7}$ و $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.4.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.5

اضرب الأُسس في ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.5.2

اضرب $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.2.1

اجمع $\frac{3}{7}$ و $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.5.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.1.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.7

اضرب الأُسس في ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.7.3

اجمع $\frac{1}{7}$ و $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.8

اضرب الأُسس في ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

خطوة 3.1.2.1.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

خطوة 3.1.2.1.8.3

اجمع $\frac{1}{7}$ و $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

خطوة 3.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ في $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $18^{\frac{2}{7}}$ في $18^{\frac{7}{7}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.2.1

انقُل $18^{\frac{7}{7}}$ .

خطوة 3.1.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

خطوة 3.1.2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.3.2.4

أضف $7$ و $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.5.2

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.5.3

اضرب $18$ في $- 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ هي $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.48997693$ في العبارة.

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.48997693$ يساوي $- 0.40466412$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.28997693$ في العبارة.

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.3

في $- 0.28997693$ ، المشتق الثاني هو $0.57785322$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ .

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

خطوة 8