حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 20$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $42 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $42$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

خطوة 1.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

خطوة 1.1.5.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 60 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$36 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 60$ .

$36 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $84$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $84 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $84$ في $1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + \frac{d}{d x} [- 36]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $36 x^{2} - 120 x + 84$ و $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 120 x + 84$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 120 x + 84 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $- 120 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 84 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $84$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 12 (7) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ ومجموعهما $b = - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 10$ من $- 10 x$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 10$ في صورة $- 3$ زائد $- 7$

$12 (3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$12 ((3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$12 (3 x (x - 1) - 7 (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (3 x - 7)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $3 x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $3 x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 7 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 7$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 7$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 7$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 1, \frac{7}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 - 20 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 20$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 - 20 + 42 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $42$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.7

اضرب $- 36$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36$

خطوة 3.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اطرح $20$ من $3$ .

$f (1) = - 17 + 42 - 36$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $- 17$ و $42$ .

$f (1) = 25 - 36$

خطوة 3.1.2.2.3

اطرح $36$ من $25$ .

$f (1) = - 11$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 11$ .

$- 11$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ هي $(1, - 11)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, - 11)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\frac{7}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{7}{3}) = 3 {(\frac{7}{3})}^{4} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{7^{4}}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{81}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 (27)}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 \cdot 27}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{7^{3}}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{343}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 (\frac{343}{27}) + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.8

اضرب $- 20 (\frac{343}{27})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

اجمع $- 20$ و $\frac{343}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 20 \cdot 343}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.8.2

اضرب $- 20$ في $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{7^{2}}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.11

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.12

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.13.1

أخرِج العامل $3$ من $42$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 (14) (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.13.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 14 (\frac{49}{3}) - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.14

اجمع $14$ و $\frac{49}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{14 \cdot 49}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.15

اضرب $14$ في $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.16

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.16.1

أخرِج العامل $3$ من $- 36$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 (- 12) (\frac{7}{3})$

خطوة 3.3.2.1.16.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 \cdot (- 12 (\frac{7}{3}))$

خطوة 3.3.2.1.16.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 12 \cdot 7$

خطوة 3.3.2.1.17

اضرب $- 12$ في $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 84$

خطوة 3.3.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{2401 - 6860}{27} + \frac{686}{3}$

خطوة 3.3.2.2.2

اطرح $6860$ من $2401$ .

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

خطوة 3.3.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اكتب $- 84$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $\frac{- 84}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

خطوة 3.3.2.3.3

اضرب $\frac{- 84}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

خطوة 3.3.2.3.4

اضرب $\frac{686}{3}$ في $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 3.3.2.3.5

اضرب $\frac{686}{3}$ في $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

خطوة 3.3.2.3.6

اضرب $3$ في $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $- 84$ في $27$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.3.2.5.2

اضرب $686$ في $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 6174}{27}$

خطوة 3.3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

اطرح $4459$ من $- 2268$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 6727 + 6174}{27}$

خطوة 3.3.2.6.2

أضف $- 6727$ و $6174$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 553}{27}$

خطوة 3.3.2.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{7}{3}) = - \frac{553}{27}$

خطوة 3.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{553}{27}$ .

$- \frac{553}{27}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{7}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ هي $(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.9$ في العبارة.

$f'' (0.9) = 36 {(0.9)}^{2} - 120 \cdot 0.9 + 84$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $0.9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.9) = 36 \cdot 0.81 - 120 \cdot 0.9 + 84$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $0.81$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 120 \cdot 0.9 + 84$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 120$ في $0.9$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 108 + 84$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $108$ من $29.16$ .

$f'' (0.9) = - 78.84 + 84$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 78.84$ و $84$ .

$f'' (0.9) = 5.16$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $5.16$ .

$5.16$

خطوة 5.3

في $0.9$ ، المشتق الثاني هو $5.16$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \frac{7}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.66666666$ في العبارة.

$f'' (1.66666666) = 36 {(1.66666666)}^{2} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $1.66666666$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.66666666) = 36 \cdot 2.\overline{7} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $2.\overline{7}$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 120$ في $1.66666666$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 200 + 84$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $200$ من $100$ .

$f'' (1.66666666) = - 100 + 84$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 100$ و $84$ .

$f'' (1.66666666) = - 16$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1.66666666$ يساوي $- 16$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \frac{7}{3})$

تناقص خلال $(1, \frac{7}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{7}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.4\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 {(2.4\overline{3})}^{2} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.4\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 \cdot 5.92\overline{1} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $5.92\overline{1}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 120$ في $2.4\overline{3}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 292 + 84$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $292$ من $213.15\overline{9}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = - 78.84 + 84$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 78.84$ و $84$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 5.15\overline{9}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $5.15\overline{9}$ .

$5.15\overline{9}$

خطوة 7.3

في $2.4\overline{3}$ ، المشتق الثاني هو $5.15\overline{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{7}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ .

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

خطوة 9