حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ غير معرّفة.

$x = 1$

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $9$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.7

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.6

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 3.8.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 3.9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.3

أضف $9 + 0$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.4

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.7

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{3 + 0}{1 - 0}$

خطوة 3.10.1.8

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{3}{1 - 0}$

خطوة 3.10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

خطوة 3.10.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3}{1}$

خطوة 3.10.3

اقسِم $3$ على $1$ .

$3$

خطوة 4

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $9$ على $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.7

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.6

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

خطوة 4.8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 4.8.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 4.9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.3

أضف $9 + 0$ و $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.4

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{- \sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{1 - 0}$

خطوة 4.10.1.9

أضف $- 3$ و $0$ .

$\frac{- 3}{1 - 0}$

خطوة 4.10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 3}{1 + 0}$

خطوة 4.10.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- 3}{1}$

خطوة 4.10.3

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3$

خطوة 5

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 3, - 3$

خطوة 6

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = 3, - 3$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 8