حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $G (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$G (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 5.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int C d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{12} + C x + C$

خطوة 10.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .

$G (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$