حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{5}{6 x - 4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 = 0$

خطوة 1.2.2

بما أن $5 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أخرِج العامل $2$ من $6 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ .

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

خطوة 4.3

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{5}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

خطوة 4.4

لنفترض أن $u = 3 x - 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

افترض أن $u = 3 x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

خطوة 4.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.4.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 4.4.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4.4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

خطوة 4.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{lower} = 6 - 2$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $2$ من $6$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 4.4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

خطوة 4.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.5.1

اضرب $3$ في $5$ .

$u_{upper} = 15 - 2$

خطوة 4.4.5.2

اطرح $2$ من $15$ .

$u_{upper} = 13$

خطوة 4.4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

خطوة 4.4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 4.5.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 4.6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.7.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

خطوة 4.9

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $13$ وفي $4$ .

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

خطوة 4.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

خطوة 4.10.2

اجمع $\frac{5}{6}$ و $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

خطوة 4.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $13$ تساوي $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

خطوة 4.11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

خطوة 5

اجمع المساحات $\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $5 \ln (\frac{13}{4})$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

خطوة 5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{13}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

خطوة 5.2.2

ارفع $13$ إلى القوة $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

خطوة 5.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ بالصيغة $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ .

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

خطوة 5.4

بسّط $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ بنقل $\frac{1}{6}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{371293}{1024}$ .

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

خطوة 6