حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{7 x - 1}$ , $[4, 5]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{1}{7 x - 1} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{1}{7 x - 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 1.2.2

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x - \int_{4}^{5} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $4$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\frac{1}{7 x - 1}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x$

خطوة 3.3

لنفترض أن $u = 7 x - 1$ . إذن $d u = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

افترض أن $u = 7 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أوجِد مشتقة $7 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 1]$

خطوة 3.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3.1.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 + 0$

خطوة 3.3.1.4.2

أضف $7$ و $0$ .

$7$

خطوة 3.3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 7 x - 1$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 4 - 1$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $7$ في $4$ .

$u_{lower} = 28 - 1$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $1$ من $28$ .

$u_{lower} = 27$

خطوة 3.3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 7 x - 1$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 5 - 1$

خطوة 3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اضرب $7$ في $5$ .

$u_{upper} = 35 - 1$

خطوة 3.3.5.2

اطرح $1$ من $35$ .

$u_{upper} = 34$

خطوة 3.3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 34$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{7}$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u \cdot 7} d u$

خطوة 3.4.2

انقُل $7$ إلى يسار $u$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{7 u} d u$

خطوة 3.5

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} \int_{27}^{34} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{7} \ln (| u |)]_{27}^{34}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $34$ وفي $27$ .

$\frac{1}{7} (\ln (| 34 |) - \ln (| 27 |))$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$

خطوة 3.8.2

اجمع $\frac{1}{7}$ و $\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})}{7}$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $34$ تساوي $34$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{| 27 |})}{7}$

خطوة 3.9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $27$ تساوي $27$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$

خطوة 4

اجمع المساحات $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ بالصيغة $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ بنقل $\frac{1}{7}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{34}{27})}^{\frac{1}{7}})$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{34}{27}$ .

$\ln (\frac{34^{\frac{1}{7}}}{27^{\frac{1}{7}}})$

خطوة 5