حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} - 143) e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 143$ و $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 143) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 143$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143]$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 143])$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 143$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 143$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

خطوة 1.1.3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} e^{x} - 143 e^{x} + e^{x} (2 x)$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$

خطوة 1.1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 143 e^{x} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- 143 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 143) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} + 2 x - 143$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 143$ ومجموعهما $2$ .

$- 11, 13$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$e^{x} ((x - 11) (x + 13)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 11 = 0$

$x + 13 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 11 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $11$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 11$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 13 = 0$

خطوة 2.6.2

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$x = - 13$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$ صحيحة.

$x = 11, - 13$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $(x^{2} - 143) e^{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $11$ .

$({(11)}^{2} - 143) \cdot e^{11}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$(121 - 143) \cdot e^{11}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $143$ من $121$ .

$- 22 e^{11}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 13$ .

$({(- 13)}^{2} - 143) \cdot e^{- 13}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 13$ إلى القوة $2$ .

$(169 - 143) \cdot e^{- 13}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $143$ من $169$ .

$26 \cdot e^{- 13}$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$26 \cdot \frac{1}{e^{13}}$

خطوة 4.2.2.4

اجمع $26$ و $\frac{1}{e^{13}}$ .

$\frac{26}{e^{13}}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(11, - 22 e^{11}), (- 13, \frac{26}{e^{13}})$

خطوة 5