حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 \sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

خطوة 1.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة العبارة $\sec (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عيّن قيمة $\sec (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sec (x) = 0$

خطوة 1.2.3.2

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 1.2.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 1.2.4.2.4

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 1.2.4.2.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 1.2.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 1.2.4.2.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 1.2.4.2.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ صحيحة.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.6

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\sec (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $- 5 \sec (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$- 5 \sec (0)$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$- 5 \cdot 1$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $π$ .

$- 5 \sec (π)$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$- 5 (- \sec (0))$

خطوة 1.4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.4.2.2.3

اضرب $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

خطوة 1.4.2.2.3.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$5$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(0, - 5), (π, 5)$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتقة الثانية لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 \sec (x) \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

خطوة 3.1.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

خطوة 3.1.4

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

خطوة 3.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

خطوة 3.1.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

خطوة 3.1.5

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

خطوة 3.1.6

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

خطوة 3.1.7

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

خطوة 3.1.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

خطوة 3.1.9

أضف $1$ و $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

خطوة 3.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

خطوة 3.1.10.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

خطوة 3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.3

ارفع $0$ إلى القوة $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.4

اضرب $- 5$ في $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.6

اضرب $0$ في $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

خطوة 3.2.7

احسِب قيمة $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

خطوة 3.2.8

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

خطوة 3.2.9

اضرب $- 5$ في $1$ .

$0 - 5$

خطوة 3.2.10

اطرح $5$ من $0$ .

$- 5$

خطوة 3.3

نظرًا إلى أن المشتقة الثانية سالبة في $0$ ، فإنها نقطة قصوى.

$0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.4

عوّض بـ $π$ عن $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $π$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.2

احسِب قيمة $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.3

ارفع $0$ إلى القوة $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.4

اضرب $- 5$ في $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.5

احسِب قيمة $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.6

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

خطوة 3.4.7

احسِب قيمة $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.4.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

خطوة 3.4.9

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$0 + 5$

خطوة 3.4.10

أضف $0$ و $5$ .

$5$

خطوة 3.5

نظرًا إلى أن المشتقة الثانية موجبة في $π$ ، فإنها نقطة دنيا.

$π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.6

اسرِد القيم القصوى المحلية

$0$ هي حد أقصى محلي

$π$ هي حد أدنى محلي

$0$ هي حد أقصى محلي

$π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 4

قارن قيم $g (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $g (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $g (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(0, - 5)$

الحد الأدنى المطلق: $(π, 5)$

خطوة 5