حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 8 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$1 + 8 (- \sin (x))$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 - 8 \sin (x)$ .

$1 - 8 \sin (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 - 8 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - 8 \sin (x) = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 8 \sin (x) = - 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $- 8 \sin (x) = - 1$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 8 \sin (x) = - 1$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

خطوة 1.2.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

خطوة 1.2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$x = 0.12532783$

خطوة 1.2.6

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

خطوة 1.2.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

خطوة 1.2.7.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

خطوة 1.2.7.3

اطرح $0.12532783$ من $3.14159265$ .

$x = 3.01626482$

خطوة 1.2.8

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x + 8 \cos (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0.12532783$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0.12532783$ .

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

خطوة 1.4.1.2

أضف $0.12532783$ و $8 \cos (0.12532783)$ .

$8.06258176$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 0.12532783 + 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0.12532783 + 2 π$ .

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

أضف $0.12532783$ و $2 π$ .

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $0.12532783$ و $2 π$ .

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

خطوة 1.4.2.2.3

أضف $6.40851313$ و $8 \cos (6.40851313)$ .

$14.34576707$

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $x = 0.12532783 + 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0.12532783 + 4 π$ .

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

خطوة 1.4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

أضف $0.12532783$ و $4 π$ .

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

خطوة 1.4.3.2.2

أضف $0.12532783$ و $4 π$ .

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

خطوة 1.4.3.2.3

أضف $12.69169844$ و $8 \cos (12.69169844)$ .

$20.62895237$

خطوة 1.4.4

احسِب القيمة في $x = 0.12532783 + 6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0.12532783 + 6 π$ .

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

خطوة 1.4.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

أضف $0.12532783$ و $6 π$ .

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

خطوة 1.4.4.2.2

أضف $0.12532783$ و $6 π$ .

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

خطوة 1.4.4.2.3

أضف $18.97488375$ و $8 \cos (18.97488375)$ .

$26.91213768$

خطوة 1.4.5

احسِب القيمة في $x = 0.12532783 + 8 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0.12532783 + 8 π$ .

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

خطوة 1.4.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.2.1

أضف $0.12532783$ و $8 π$ .

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

خطوة 1.4.5.2.2

أضف $0.12532783$ و $8 π$ .

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

خطوة 1.4.5.2.3

أضف $25.25806905$ و $8 \cos (25.25806905)$ .

$33.19532299$

خطوة 1.4.6

احسِب القيمة في $x = 3.01626482$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3.01626482$ .

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

خطوة 1.4.6.2

أضف $3.01626482$ و $8 \cos (3.01626482)$ .

$- 4.92098911$

خطوة 1.4.7

احسِب القيمة في $x = 3.01626482 + 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3.01626482 + 2 π$ .

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

خطوة 1.4.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.1

أضف $3.01626482$ و $2 π$ .

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

خطوة 1.4.7.2.2

أضف $3.01626482$ و $2 π$ .

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

خطوة 1.4.7.2.3

أضف $9.29945012$ و $8 \cos (9.29945012)$ .

$1.36219619$

خطوة 1.4.8

احسِب القيمة في $x = 3.01626482 + 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3.01626482 + 4 π$ .

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

خطوة 1.4.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.2.1

أضف $3.01626482$ و $4 π$ .

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

خطوة 1.4.8.2.2

أضف $3.01626482$ و $4 π$ .

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

خطوة 1.4.8.2.3

أضف $15.58263543$ و $8 \cos (15.58263543)$ .

$7.6453815$

خطوة 1.4.9

احسِب القيمة في $x = 3.01626482 + 6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3.01626482 + 6 π$ .

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

خطوة 1.4.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.2.1

أضف $3.01626482$ و $6 π$ .

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

خطوة 1.4.9.2.2

أضف $3.01626482$ و $6 π$ .

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

خطوة 1.4.9.2.3

أضف $21.86582074$ و $8 \cos (21.86582074)$ .

$13.92856681$

خطوة 1.4.10

احسِب القيمة في $x = 3.01626482 + 8 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3.01626482 + 8 π$ .

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

خطوة 1.4.10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.2.1

أضف $3.01626482$ و $8 π$ .

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

خطوة 1.4.10.2.2

أضف $3.01626482$ و $8 π$ .

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

خطوة 1.4.10.2.3

أضف $28.14900605$ و $8 \cos (28.14900605)$ .

$20.21175211$

خطوة 1.4.11

اسرِد جميع النقاط.

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$(0) + 8 \cos (0)$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $8$ في $1$ .

$0 + 8$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $8$ .

$8$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2 π$ .

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

خطوة 3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 π + 8 \cos (0)$

خطوة 3.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 π + 8 \cdot 1$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$2 π + 8$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(2 π, 2 π + 8)$

الحد الأدنى المطلق: $(3.01626482, - 4.92098911)$

خطوة 5