حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) + 8$ , $0 < x < 2 π$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (x) + 0$

خطوة 1.1.1.3.2

أضف $\cos (x)$ و $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 1.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 1.2.5.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sin (x) + 8$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + 8$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1 + 8$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $1$ و $8$ .

$9$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3 π}{2}$ .

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 8$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 8$

خطوة 1.4.2.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 8$

خطوة 1.4.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 8$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $- 1$ و $8$ .

$7$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 9), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 7)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(\frac{π}{2}, 9), (\frac{3 π}{2}, 7)$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

خطوة 3.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $\cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \cos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 3.2.2.2

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 3.3

عوّض بأي عدد، مثل $3$ ، من الفترة $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ في المشتق الأول $\cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \cos (3)$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

احسِب قيمة $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.98999249$

خطوة 3.3.2.2

الإجابة النهائية هي $- 0.98999249$ .

$- 0.98999249$

خطوة 3.4

عوّض بأي عدد، مثل $7$ ، من الفترة $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ في المشتق الأول $\cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = \cos (7)$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

احسِب قيمة $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.75390225$

خطوة 3.4.2.2

الإجابة النهائية هي $0.75390225$ .

$0.75390225$

خطوة 3.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{π}{2}$ ، إذن $x = \frac{π}{2}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{3 π}{2}$ ، إذن $x = \frac{3 π}{2}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x) + 8$ .

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(\frac{π}{2}, 9)$

الحد الأدنى المطلق: $(\frac{3 π}{2}, 7)$

خطوة 5