حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 49}$ في صورة ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 1.10

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 1.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 1.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 1.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.3

بسّط.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.4.2

اضرب ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.5

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.10.3

انقُل ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.10.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.13

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.14.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.14.3

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.14.4

اجمع $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.18

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.19

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.20.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.20.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.22

لكتابة ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.24

اضرب ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.24.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.24.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.24.3

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.24.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.25

بسّط ${(x^{2} + 49)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.26

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.27

أضف $0$ و $49$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.28

أعِد كتابة $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

خطوة 2.29

اضرب $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

خطوة 2.30

اضرب ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 49$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.30.1

اضرب ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.30.1.1

ارفع $x^{2} + 49$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

خطوة 2.30.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 2.30.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 2.30.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 2.30.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 49}$ في صورة ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.7.3

انقُل ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

خطوة 4.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 4.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

خطوة 4.1.10

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 4.1.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 4.1.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 4.1.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.1.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.1.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.2

أضف $0$ و $49$ .

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.3

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 9.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 9.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{49}{7^{3}}$

خطوة 9.1.6

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{49}{343}$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $49$ و $343$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $49$ من $49$ .

$\frac{49 (1)}{343}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $49$ من $343$ .

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7}$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

خطوة 11.2.2

أضف $0$ و $49$ .

$f (0) = \sqrt{49}$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

خطوة 11.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = 7$

خطوة 11.2.5

الإجابة النهائية هي $7$ .

$y = 7$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ .

$(0, 7)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13