حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) \cos (x) + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.8

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.2.11

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 1.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ و $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب $- \sin^{2} (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 1.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (x)$ و $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.4.4

وسّع $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\cos (x) (- \sin (x))$ و $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.5.2

أضف $- \cos (x) \sin (x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.5.3

أضف $\cos (x) \cos (x)$ و $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.6.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.6.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.6.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.4.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

خطوة 1.4.6.3

اضرب $- \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

خطوة 1.4.6.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

خطوة 1.4.6.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

خطوة 1.4.6.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 1.4.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$\cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\cos (2 x) = 0$

خطوة 4

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (0)$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 7

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 8.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 8.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 8.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9

حل المعادلة $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 11.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 11.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 11.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 11.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 12

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

خطوة 13.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

خطوة 13.2.1.3

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

خطوة 13.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 13.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

خطوة 13.2.2

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 13.2.3

اجمع $7$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

خطوة 13.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

خطوة 13.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1

اضرب $7$ في $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

خطوة 13.2.5.2

أضف $1$ و $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

خطوة 13.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

خطوة 15.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

خطوة 15.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 15.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 15.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 15.4

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

خطوة 15.4.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2$

خطوة 16

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 17

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

خطوة 17.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

خطوة 17.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

خطوة 17.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

خطوة 17.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

خطوة 17.2.1.5

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.5.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.7

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

خطوة 17.2.1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

خطوة 17.2.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

خطوة 17.2.2

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 17.2.3

اجمع $7$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

خطوة 17.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

خطوة 17.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.5.1

اضرب $7$ في $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

خطوة 17.2.5.2

أضف $- 1$ و $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

خطوة 17.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

خطوة 18

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 19