حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2} {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ و $g (x) = {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}] + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{10}$ و $g (x) = x^{2} + 4 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + 4 x - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + 4 x - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.5

اضرب $4$ في $1$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + 0)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.7

أضف $2 x + 4$ و $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

خطوة 3.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{3} - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3} - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3} - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]))$

خطوة 5.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + 0))$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2}))$

خطوة 5.5.2

اضرب $3$ في $6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{3} - 6) x^{2})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} ((18 x^{3} + 18 \cdot - 6) x^{2})$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{3} x^{2} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

خطوة 6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{2} x^{3}) + 18 \cdot - 6 x^{2})$

خطوة 6.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{2 + 3} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

خطوة 6.3.1.3

أضف $2$ و $3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

خطوة 6.3.2

اضرب $18$ في $- 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $10$ في $3$ .

$30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

خطوة 7.2

أخرِج العامل ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ من $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ من $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4))$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ من ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$

خطوة 7.2.3

أخرِج العامل ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ من ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$