حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sum_{k = 1}^{10} 100 - {(- 10 + 2 k)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(- 10 + 2 k)}^{2}$ بالصيغة $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ .

$100 - ((- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k))$

خطوة 1.1.2

وسّع $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$100 - (- 10 (- 10 + 2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $- 10$ في $- 10$ .

$100 - (100 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $2$ في $- 10$ .

$100 - (100 - 20 k + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $- 10$ في $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 k (2 k))$

خطوة 1.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k \cdot k)$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.5.1

انقُل $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 (k \cdot k))$

خطوة 1.1.3.1.5.2

اضرب $k$ في $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k^{2})$

خطوة 1.1.3.1.6

اضرب $2$ في $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 4 k^{2})$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $20 k$ من $- 20 k$ .

$100 - (100 - 40 k + 4 k^{2})$

خطوة 1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$100 - 1 \cdot 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اضرب $- 1$ في $100$ .

$100 - 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $- 40$ في $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - (4 k^{2})$

خطوة 1.1.5.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - 4 k^{2}$

خطوة 1.2

اطرح $100$ من $100$ .

$0 + 40 k - 4 k^{2}$

خطوة 1.3

أضف $0$ و $40 k$ .

$40 k - 4 k^{2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2}$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2} = (2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k + (2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

خطوة 3

احسِب قيمة $(2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(2 \cdot 40) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $10$ و $1$ .

$2 \cdot 40 \frac{10 \cdot 11}{2}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $10$ في $11$ .

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 40$ .

$2 (40) \frac{110}{2}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$40 \cdot 110$

خطوة 3.3.3

اضرب $40$ في $110$ .

$4400$

خطوة 4

احسِب قيمة $(2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(2 \cdot - 4) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $10$ و $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اضرب $10$ في $11$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $2$ في $10$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.3

أضف $20$ و $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 \cdot 21}{6}$

خطوة 4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $110$ في $21$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{6}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 (\frac{2310}{6})$

خطوة 4.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{2310}{6}$

خطوة 4.3.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.3.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.3.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 (\frac{2310}{3})$

خطوة 4.3.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{2310}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2310}{3}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

اضرب $- 4$ في $2310$ .

$\frac{- 9240}{3}$

خطوة 4.3.2.5.2

اقسِم $- 9240$ على $3$ .

$- 3080$

خطوة 5

أضف نتائج المجاميع.

$4400 - 3080$

خطوة 6

اطرح $3080$ من $4400$ .

$1320$