حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{6} {(k)}^{3} - {(k - 1)}^{3}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$k^{3} - (k^{3} + 3 k^{2} \cdot - 1 + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

خطوة 1.1.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k + {(- 1)}^{3})$

خطوة 1.1.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k - 1)$

خطوة 1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$k^{3} - k^{3} - (- 3 k^{2}) - (3 k) - - 1$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - (3 k) - - 1$

خطوة 1.1.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k - - 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k + 1$

خطوة 1.2

اطرح $k^{3}$ من $k^{3}$ .

$0 + 3 k^{2} - 3 k + 1$

خطوة 1.3

أضف $0$ و $3 k^{2}$ .

$3 k^{2} - 3 k + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1 = 3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 3 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(3) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $6$ و $1$ .

$3 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $6$ في $7$ .

$3 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$3 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $12$ و $1$ .

$3 \frac{42 \cdot 13}{6}$

خطوة 3.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $42$ في $13$ .

$3 (\frac{546}{6})$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 \frac{546}{3 (2)}$

خطوة 3.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{546}{3 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{546}{2}$

خطوة 3.3.2.3

اقسِم $546$ على $2$ .

$273$

خطوة 4

احسِب قيمة $3 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 3) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $6$ و $1$ .

$- 3 \frac{6 \cdot 7}{2}$

خطوة 4.3.2

اضرب $6$ في $7$ .

$- 3 (\frac{42}{2})$

خطوة 4.3.3

اقسِم $42$ على $2$ .

$- 3 \cdot 21$

خطوة 4.3.4

اضرب $- 3$ في $21$ .

$- 63$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{6} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (6)$

خطوة 5.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$273 - 63 + 6$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $63$ من $273$ .

$210 + 6$

خطوة 7.2

أضف $210$ و $6$ .

$216$