حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x + 2$ و $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + 0) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 2 - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.7.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + 0))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \cdot 1)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.5.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + 4)}^{2}$ بالصيغة $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{2 ((x + 4) (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2

وسّع $(x + 4) (x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.2

أضف $4 x$ و $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.5.1

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.5.2

اضرب $2$ في $16$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.6.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.6.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7

وسّع $(- 4 x - 4) (x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x (x + 4) - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.2

اطرح $4 x$ من $- 16 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.2

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 32 - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.3

اطرح $20 x$ من $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 32 - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.4

اطرح $16$ من $32$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} - 4 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $2$ زائد $- 4$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $x + 4$ و ${(x + 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.4.1

أخرِج العامل $x + 4$ من $2 (- x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.4.2.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{4}$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (- x + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.6

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.8

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$

خطوة 1.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.3.5.2

اضرب ${(x + 4)}^{3}$ في $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.5.2

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.5.2.2

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من $- 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 1.1.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{6}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.10.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.10.3

اجمع $- 2$ و $\frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.10.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.3.1.1

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3.1.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3.1.3

اضرب $2 (- 3 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.3.1.3.1

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 6}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3.1.3.2

اضرب $2$ في $6$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3.2

اطرح $6 x$ من $2 x$ .

$- \frac{- 4 x + 8 + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.3.3

أضف $8$ و $12$ .

$- \frac{- 4 x + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.4

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$- \frac{4 (- x) + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.4.2

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$- \frac{4 (- x) + 4 (5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (5)$ .

$- \frac{4 (- x + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.6

أعِد كتابة $5$ بالصيغة $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.8

أعِد كتابة $- (x - 5)$ بالصيغة $- 1 (x - 5)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.11.11

اضرب $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (x - 5) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 5) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 5) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.2.3.1.2.1.2

اقسِم $x - 5$ على $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{4}$

خطوة 1.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 4}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 4}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{4 ((- 6) - 5)}{{((- 6) + 4)}^{4}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $5$ من $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 6 + 4)}^{4}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 6$ و $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 2)}^{4}}$

خطوة 4.2.2.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{16}$

خطوة 4.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $4$ في $- 11$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 44}{16}$

خطوة 4.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 44$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 44$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 11)}{16}$

خطوة 4.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

خطوة 4.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

خطوة 4.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 11}{4}$

خطوة 4.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 6) = - \frac{11}{4}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{4}$ .

$- \frac{11}{4}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 4)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 4, 5)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{4 ((0) - 5)}{{((0) + 4)}^{4}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $5$ من $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 4)}^{4}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0$ و $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4^{4}}$

خطوة 5.2.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{256}$

خطوة 5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $4$ في $- 5$ .

$f'' (0) = \frac{- 20}{256}$

خطوة 5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 20$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 5)}{256}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $256$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

خطوة 5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

خطوة 5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 5}{64}$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = - \frac{5}{64}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{64}$ .

$- \frac{5}{64}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- 4, 5)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- 4, 5)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(5, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f'' (8) = \frac{4 ((8) - 5)}{{((8) + 4)}^{4}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $5$ من $8$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{{(8 + 4)}^{4}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $8$ و $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{12^{4}}$

خطوة 6.2.2.2

ارفع $12$ إلى القوة $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{20736}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f'' (8) = \frac{12}{20736}$

خطوة 6.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $20736$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$f'' (8) = \frac{12 (1)}{20736}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $20736$ .

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

خطوة 6.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (8) = \frac{1}{1728}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{1728}$ .

$\frac{1}{1728}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(5, \infty)$ لأن $f'' (8)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(5, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأسفل خلال $(- 4, 5)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(5, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8