حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 49 x^{2} + 36$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $49 x^{2} + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $49 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.6

أضف $98 x$ و $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

خطوة 1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

خطوة 1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1.1

اضرب $49$ في $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

خطوة 1.9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 1.9.2.2

اطرح $49 x^{2}$ من $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.3.1

أعِد كتابة $49 x^{2}$ بالصيغة ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 1.9.3.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.9.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 7 x$ و $b = 6$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 7 x + 6$ و $g (x) = 7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \frac{d}{d x} (7 x - 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.4

اضرب $7$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.5

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + 0) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \cdot 7 + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.6.2

انقُل $7$ إلى يسار $7 x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 \cdot (7 x + 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.8

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.10

اضرب $7$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.11

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + 0)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1

أضف $7$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) \cdot 7) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.12.2

انقُل $7$ إلى يسار $7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 \cdot (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.4.14

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

خطوة 2.4.14.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.14.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

خطوة 2.4.14.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

خطوة 2.4.14.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

خطوة 2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x (7 \cdot 6)$ و $x (7 \cdot - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + 6 \cdot (7 x) + x (7 (7 x)) - 6 \cdot (7 x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.1.2

اطرح $6 \cdot 7 x$ من $6 \cdot 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + 0 + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.1.3

أضف $x (7 (7 x)) + x (7 (7 x))$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x \cdot x) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 (x \cdot x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x^{2}) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.3

اضرب $7$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x \cdot x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 (x \cdot x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x^{2}) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.6

اضرب $7$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.7.1

اضرب $7$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.7.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 12) (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.8

وسّع $(- 14 x - 12) (7 x - 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x - 6) - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x \cdot x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.9.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 (x \cdot x)) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x^{2}) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.3

اضرب $- 14$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.4

اضرب $- 6$ في $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.5

اضرب $7$ في $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.1.6

اضرب $- 12$ في $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x + 72}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.2

اطرح $84 x$ من $84 x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 0 + 72}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.2.9.3

أضف $- 98 x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.3

أضف $49 x^{2}$ و $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{98 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.4

اطرح $98 x^{2}$ من $98 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{x^{3}}$

خطوة 2.6.5.5

أضف $0$ و $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $49 x^{2} + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $49 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $2$ في $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2.6

أضف $98 x$ و $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.2.1.1

اضرب $49$ في $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.2.2

اطرح $49 x^{2}$ من $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.3.1

أعِد كتابة $49 x^{2}$ بالصيغة ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.3.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

خطوة 4.1.9.3.3

$f' (x) = \frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$7 x + 6 = 0$

$7 x - 6 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة العبارة $7 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

عيّن قيمة $7 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x + 6 = 0$

خطوة 5.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$7 x = - 6$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم كل حد في $7 x = - 6$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $7 x = - 6$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

خطوة 5.3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

خطوة 5.3.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{7}$

خطوة 5.3.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{6}{7}$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $7 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $7 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x - 6 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$7 x = 6$

خطوة 5.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $7 x = 6$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $7 x = 6$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

خطوة 5.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

خطوة 5.3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{7}$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{6}{7}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{72}{{(- \frac{6}{7})}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{{(- 1)}^{3} {(\frac{6}{7})}^{3}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{72}{- {(\frac{6}{7})}^{3}}$

خطوة 9.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{- \frac{6^{3}}{7^{3}}}$

خطوة 9.1.4

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{7^{3}}}$

خطوة 9.1.5

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{343}}$

خطوة 9.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$72 (- \frac{343}{216})$

خطوة 9.3

ألغِ العامل المشترك لـ $72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{343}{216}$ إلى بسط الكسر.

$72 (\frac{- 343}{216})$

خطوة 9.3.2

أخرِج العامل $72$ من $216$ .

$72 \frac{- 343}{72 (3)}$

خطوة 9.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$72 \frac{- 343}{72 \cdot 3}$

خطوة 9.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 343}{3}$

خطوة 9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{343}{3}$

خطوة 10

$x = - \frac{6}{7}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{6}{7}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{6}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{6}{7}$ في العبارة.

$f (- \frac{6}{7}) = \frac{49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36}{- \frac{6}{7}}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{7})}^{2}) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (1 (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.3

اضرب $\frac{6^{2}}{7^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.4

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.5

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{6}{7}) = (36 + 36) (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أضف $36$ و $36$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (- \frac{7}{6})$

خطوة 11.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{6}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (\frac{- 7}{6})$

خطوة 11.2.3.2.2

أخرِج العامل $6$ من $72$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{- 7}{6})$

خطوة 11.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{- 7}{6}))$

خطوة 11.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{6}{7}) = 12 \cdot - 7$

خطوة 11.2.3.3

اضرب $12$ في $- 7$ .

$f (- \frac{6}{7}) = - 84$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $- 84$ .

$y = - 84$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{6}{7}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{72}{{(\frac{6}{7})}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{\frac{6^{3}}{7^{3}}}$

خطوة 13.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{7^{3}}}$

خطوة 13.1.3

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{343}}$

خطوة 13.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$72 (\frac{343}{216})$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $72$ من $216$ .

$72 \frac{343}{72 (3)}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$72 \frac{343}{72 \cdot 3}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{343}{3}$

خطوة 14

$x = \frac{6}{7}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{6}{7}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{6}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{6}{7}$ في العبارة.

$f (\frac{6}{7}) = \frac{49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36}{\frac{6}{7}}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{6}{7}) = (49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{6}{7}$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.2.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.2.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{6}{7}) = (36 + 36) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.1

أضف $36$ و $36$ .

$f (\frac{6}{7}) = 72 (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.2.1

أخرِج العامل $6$ من $72$ .

$f (\frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{7}{6})$

خطوة 15.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{7}{6}))$

خطوة 15.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{6}{7}) = 12 \cdot 7$

خطوة 15.2.3.3

اضرب $12$ في $7$ .

$f (\frac{6}{7}) = 84$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $84$ .

$y = 84$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$ .

$(- \frac{6}{7}, - 84)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{6}{7}, 84)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17