حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) - \cos (x)$

خطوة 1

اكتب $\sin (x) - \cos (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.3

افصِل الكسور.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.5

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.7

افصِل الكسور.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 3.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 3.9

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 3.10

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

خطوة 3.11

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 3.12

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.12.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 3.13

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 3.14

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 3.15

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 3.16

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 3.16.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 3.16.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 3.16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 3.16.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 3.17

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.17.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.17.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.17.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.17.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.18

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{π}{4}$ في $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

خطوة 4.1.2.2.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ في $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ هي $(\frac{π}{4}, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{4}, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\frac{5 π}{4}$ في $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 4.3.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.3.2.1.5.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $- \sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.2.2.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{5 π}{4}$ في $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ هي $(\frac{5 π}{4}, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{5 π}{4}, 0)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{4})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.68539816$ في العبارة.

$f'' (0.68539816) = - \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$ .

$- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

خطوة 6.3

في $0.68539816$ ، المشتق الثاني هو $0.14118577$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{π}{4})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.35619449$ في العبارة.

$f'' (2.35619449) = - \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$ .

$- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $2.35619449$ يساوي $- 1.41421356$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$

تناقص خلال $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.02699081$ في العبارة.

$f'' (4.02699081) = - \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

خطوة 8.2

الإجابة النهائية هي $- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$ .

$- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

خطوة 8.3

في $4.02699081$ ، المشتق الثاني هو $0.14118577$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

خطوة 10