حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x + 3}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.7.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.7.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.7.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

خطوة 2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.2.2

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.4

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.6

أعِد كتابة $- (x + 6)$ بالصيغة $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

خطوة 2.1.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.5.2

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.7.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.7.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.7.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.7.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $\frac{x + 6}{x^{3}}$ في $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

خطوة 2.2.6.2

أضف $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ و $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.2.1

اضرب $- 3$ في $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.2.2

اطرح $3 x$ من $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.5

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.7

أعِد كتابة $- (x + 9)$ بالصيغة $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7.10

اضرب $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x + 9) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 (x + 9) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (x + 9) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.2.1.2

اقسِم $x + 9$ على $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x + 9 = 0$

خطوة 3.3.2

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x = - 9$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 9$ في $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9$ في العبارة.

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أضف $- 9$ و $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

خطوة 4.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

خطوة 4.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

خطوة 4.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

خطوة 4.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

خطوة 4.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 9$ في $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ هي $(- 9, - \frac{2}{27})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 9)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9.1$ في العبارة.

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $- 9.1$ و $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

خطوة 6.2.2

ارفع $- 9.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

خطوة 6.2.3

اضرب $2$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

خطوة 6.2.4

اقسِم $- 0.2$ على $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 9.1$ يساوي $- 2.91651642 E - 5$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 9)$

تناقص خلال $(- \infty, - 9)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 9, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.9$ في العبارة.

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $- 8.9$ و $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

خطوة 7.2.2

ارفع $- 8.9$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

خطوة 7.2.3

اضرب $2$ في $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

خطوة 7.2.4

اقسِم $0.2$ على $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $0.00003187$ .

$0.00003187$

خطوة 7.3

في $- 8.9$ ، المشتق الثاني هو $3.18764514 E - 5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 9, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 9, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

خطوة 9