حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

اجمع $\frac{1}{| x |}$ و $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6

اضرب $\frac{x}{| x |}$ في $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.10

أضف $1$ و $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.11

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.15

أضف $1$ و $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

خطوة 1.17

اضرب $\ln (| x |)$ في $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

خطوة 1.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 1.18.2

اجمع $10$ و $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 1.18.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.18.3.1

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 1.18.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.18.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 1.18.3.2.2

اقسِم $10$ على $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 + 10 \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

خطوة 2.1.2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

خطوة 2.2.3

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

خطوة 2.2.4

اضرب $\frac{1}{| x |}$ في $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

خطوة 2.2.5

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

خطوة 2.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

خطوة 2.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

خطوة 2.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

خطوة 2.2.10

اجمع $10$ و $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $0$ و $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

خطوة 2.3.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

خطوة 2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

خطوة 2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

خطوة 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4

اجمع $\frac{1}{| x |}$ و $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.6

اضرب $\frac{x}{| x |}$ في $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.10

أضف $1$ و $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.11

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.15

أضف $1$ و $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

خطوة 4.1.17

اضرب $\ln (| x |)$ في $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

خطوة 4.1.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 4.1.18.2

اجمع $10$ و $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 4.1.18.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.18.3.1

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 4.1.18.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.18.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

خطوة 4.1.18.3.2.2

اقسِم $10$ على $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$10 \ln (| x |) = - 10$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $10 \ln (| x |) = - 10$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $10 \ln (| x |) = - 10$ على $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $\ln (| x |)$ على $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $- 10$ على $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (| x |) = - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

خطوة 5.6.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

خطوة 5.6.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{1}{e}$

خطوة 5.6.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{1}{e}$

خطوة 5.6.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (| x |)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| x | \leq 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $| x | \leq 0$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 6.2.1.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2.1.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 6.2.1.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 0$

خطوة 6.2.1.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

خطوة 6.2.2

أوجِد التقاطع بين $x \leq 0$ و $x \geq 0$ .

$x = 0$

خطوة 6.2.3

أوجِد حل $- x \leq 0$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$x \geq 0$

خطوة 6.2.3.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq 0$ و $x < 0$ .

لا يوجد حل

خطوة 6.2.4

أوجِد اتحاد الحلول.

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{e}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

خطوة 9

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$10 e$

خطوة 10

$x = \frac{1}{e}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{e}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $10$ و $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

خطوة 11.2.2

$\frac{1}{e}$ تساوي تقريبًا $0.36787944$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{e}$ بالصيغة $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

خطوة 11.2.4

أعِد كتابة $\ln (1 e^{- 1})$ بالصيغة $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

خطوة 11.2.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 1$ خارج الأُس.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

خطوة 11.2.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

خطوة 11.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

خطوة 11.2.8

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

خطوة 11.2.9

اطرح $1$ من $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

خطوة 11.2.10

اضرب $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.10.1

اجمع $\frac{10}{e}$ و $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

خطوة 11.2.10.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

خطوة 11.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

خطوة 11.2.12

الإجابة النهائية هي $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{1}{e}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$10 (- e)$

خطوة 13.2

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 e$

خطوة 14

$x = - \frac{1}{e}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{1}{e}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{e}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اضرب $10 (- \frac{1}{e})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

خطوة 15.2.1.2

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

خطوة 15.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

خطوة 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ تساوي تقريبًا $- 0.36787944$ وهو عدد سالب، لذا قم بنفي $- \frac{1}{e}$ وأزِل القيمة المطلقة

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 15.2.4

أعِد كتابة $\frac{1}{e}$ بالصيغة $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

خطوة 15.2.5

أعِد كتابة $\ln (1 e^{- 1})$ بالصيغة $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

خطوة 15.2.6

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 1$ خارج الأُس.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

خطوة 15.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

خطوة 15.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

خطوة 15.2.9

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

خطوة 15.2.10

اطرح $1$ من $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

خطوة 15.2.11

اضرب $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

خطوة 15.2.11.2

اضرب $\frac{10}{e}$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

خطوة 15.2.12

الإجابة النهائية هي $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ هي نقاط دنيا محلية

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17