حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

خطوة 1

اكتب $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ في صورة دالة.

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.10.2

اطرح $3$ من $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.12

اجمع $\frac{8}{3}$ و ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.13

اضرب $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.14

اضرب $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.15

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.16

أخرِج العامل $4$ من $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.2.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

خطوة 2.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.9.2

اطرح $3$ من $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

خطوة 2.3.11

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

خطوة 2.3.12

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

خطوة 2.3.13

اضرب $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ في $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 2.3.14

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.3.15

اجمع $4$ و $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.3.16

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

لكتابة $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.2

اضرب $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.4

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.4.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.4.4

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.1.4.5

اقسِم $6$ على $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.3

أعِد ترتيب $- {(x - 2)}^{2}$ و $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.5.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.5.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.2.5.5

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.6

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x (x - 4)$ و $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

اضرب $x - 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.5.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.10.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.11.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.11.3

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.11.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.14

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.15.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.15.3

اضرب $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

خطوة 3.15.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.4.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

خطوة 3.15.4.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.4

انقُل $- 4$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.6

اضرب $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.6.1

اجمع $x$ و $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.6.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 3.16.2.6.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 3.16.2.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.7

اضرب $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.7.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.7.2

اجمع $4$ و $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.8

اطرح $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ من $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.8.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.8.2

لكتابة $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.8.3

اجمع $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.9

لكتابة $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.10

اجمع $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.13.1

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.13.1.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.1.4

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.1.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.2

بسّط $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.13.4.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.7

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.8

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.10

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.13.10.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.10.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.10.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.10.4

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.10.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.11

بسّط $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.12

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.13

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.13.14

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.14

اطرح $x^{2}$ من $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.15

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.2.16

أضف $- 24 x$ و $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.1

اجمع $2$ و $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.3.2

أعِد كتابة $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 3.16.3.3

اضرب $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 3.16.3.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.3.5

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.5.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 3.16.3.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

خطوة 3.16.3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

خطوة 3.16.3.5.4

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اجمع ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.2

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.10.2

اطرح $3$ من $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.12

اجمع $\frac{8}{3}$ و ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.13

اضرب $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.14

اضرب $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.15

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.16

أخرِج العامل $4$ من $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.17.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.2.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.1.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 5.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 5.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 5.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 5.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 5.1.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.9.2

اطرح $3$ من $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

خطوة 5.1.3.11

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

خطوة 5.1.3.12

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.1.3.13

اضرب $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ في $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 5.1.3.14

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.3.15

اجمع $4$ و $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.3.16

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1.1

لكتابة $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.2

اضرب $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ في $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.4

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1.4.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.4.4

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.1.4.5

اقسِم $6$ على $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.3

أعِد ترتيب $- {(x - 2)}^{2}$ و $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.4

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.5.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.5.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.2.5.5

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.6

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.1.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x (x - 4) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 6.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 6.3.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 6.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

خطوة 7.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

خطوة 7.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.4

بسّط.

$27 (x - 2) = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.6

اضرب $27$ في $- 2$ .

$27 x - 54 = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x - 54 = 0$

خطوة 7.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

أضف $54$ إلى كلا المتعادلين.

$27 x = 54$

خطوة 7.3.3.2

اقسِم كل حد في $27 x = 54$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $27 x = 54$ على $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

خطوة 7.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

خطوة 7.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{54}{27}$

خطوة 7.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.3.1

اقسِم $54$ على $27$ .

$x = 2$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 4, 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.1.3

اضرب $- 20$ في $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.1.4

أضف $0$ و $0$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.1.5

أضف $0$ و $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $2$ من $0$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $2$ في $24$ .

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.2.3

أخرِج العامل $3$ من $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 10.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 10.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 11

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 12.2.1.2

اجمع ${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 12.2.1.3

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 12.2.2

لكتابة $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 12.2.3

اجمع $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

خطوة 12.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

خطوة 12.2.4.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

خطوة 12.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

خطوة 12.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

خطوة 12.2.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

خطوة 12.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.8.1

أعِد كتابة $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ بالصيغة $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

خطوة 12.2.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

خطوة 12.2.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.1.2

اضرب $5$ في $16$ .

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.1.3

اضرب $- 20$ في $4$ .

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.1.4

اطرح $80$ من $80$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.1.5

أضف $0$ و $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.2.2

اضرب $2$ في $24$ .

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.2.3

أخرِج العامل $3$ من $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 14.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 14.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 14.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 15

$x = 4$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

اطرح $2$ من $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.2

اجمع $2^{\frac{8}{3}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.3

اطرح $2$ من $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4

اضرب $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.4.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

خطوة 16.2.1.4.6.2

أضف $6$ و $2$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

خطوة 16.2.2

لكتابة $2^{\frac{8}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 16.2.3

اجمع $2^{\frac{8}{3}}$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

خطوة 16.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

خطوة 16.2.5

اضرب $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

خطوة 16.2.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

خطوة 16.2.5.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.5.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.5.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.5.6.2

أضف $8$ و $6$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2^{\frac{8}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.7

أخرِج العامل $- 1$ من $2^{\frac{14}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

خطوة 16.2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

خطوة 16.2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.9.1

أعِد كتابة $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ بالصيغة $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

خطوة 16.2.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

خطوة 16.2.10

الإجابة النهائية هي $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اطرح $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 18.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

خطوة 18.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

خطوة 18.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

خطوة 18.3.2

اضرب $9$ في $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

خطوة 18.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

خطوة 18.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 19

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 19.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.1.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.1.2

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.1.3

اطرح $4$ من $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.1.4

اضرب $- 4$ في $- 6$ .

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.2

أخرِج العامل $3$ من $24$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 19.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.2.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.3

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الأول $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.3.2.2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.3.2.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

خطوة 19.3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

خطوة 19.3.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

خطوة 19.3.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

خطوة 19.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.3.1

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

خطوة 19.3.2.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

خطوة 19.3.2.3.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

خطوة 19.3.2.3.4

اقسِم $- 6$ على $- 3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

خطوة 19.3.2.3.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (1) = - 2$

خطوة 19.3.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 19.4

عوّض بأي عدد، مثل $3$ ، من الفترة $(2, 4)$ في المشتق الأول $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.2.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.4.2.1.3

اطرح $4$ من $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.2.2.1

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.4.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 19.4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.2.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

خطوة 19.4.2.3.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$f' (3) = 2$

خطوة 19.4.2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (3) = 2$

خطوة 19.4.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 19.5

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الأول $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $(2 (6)) ((6) - 4)$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 19.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.4

اطرح $2$ من $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.5

اطرح $4$ من $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.6

اضرب $4$ في $2$ .

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 19.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 19.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 2$ ، إذن $x = 2$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 4$ ، إذن $x = 4$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

خطوة 19.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

خطوة 20