حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 1 + e^{x}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 1 + e^{y}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + e^{y} = x$ .

$1 + e^{y} = x$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$e^{y} = x - 1$

خطوة 2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (x - 1)$

خطوة 2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (x - 1)$

خطوة 2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

خطوة 2.4.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (x - 1)$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ هي معكوس $f (x) = 1 + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (1 + e^{x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln ((1 + e^{x}) - 1)$

خطوة 4.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 + e^{x}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (0 + e^{x})$

خطوة 4.2.3.2

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (e^{x})$

خطوة 4.2.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \ln (e)$

خطوة 4.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (x - 1))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (x - 1)) = 1 + e^{\ln (x - 1)}$

خطوة 4.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (x - 1)) = 1 + x - 1$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\ln (x - 1)) = x + 0$

خطوة 4.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\ln (x - 1)) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ هي معكوس $f (x) = 1 + e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$