حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ بالصيغة ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.6

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.7.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.7.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

خطوة 2.4.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.8

اضرب $- 2 x + 4$ في $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.9.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.9.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.9.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.9.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.11

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.13

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.6.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.6.2

اجمع $- 16$ و $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.1

أخرِج العامل $16$ من $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.1.1

أخرِج العامل $16$ من $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.1.3

أخرِج العامل $16$ من $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.2

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.3

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.4.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.4.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.4.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.6.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.6.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.6.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.6.3

انقُل $16$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.7

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.7.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.7.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.8

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.5

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.6

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.7.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.7.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.7.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.9.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.9.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.10

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.11.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.11.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.11.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.9.11.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.9.11.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.10

أضف $2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.11

اطرح $16 x^{2}$ من $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.12

وسّع $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.2.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.6

اضرب $- 1$ في $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.13.8.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.9

اضرب $- 1$ في $32$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.10

اضرب $4$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.11

اضرب $- 24$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.13.12

اضرب $32$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.14

أضف $24 x^{3}$ و $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.15

اطرح $48 x^{2}$ من $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.16

اطرح $4 x^{4}$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.17

أضف $- 8 x^{3}$ و $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.18

اطرح $80 x^{2}$ من $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19

أعِد كتابة $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.19.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.19.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.2

أخرِج العامل $x$ من $24 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- 64 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.4

أخرِج العامل $x$ من $64 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.6

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.1.7

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.6.19.2

حلّل $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.19.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

خطوة 3.7.6.19.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

خطوة 3.7.6.19.2.3

عوّض بـ $4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.19.2.3.1

عوّض بـ $4$ في متعدد الحدود.

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.3

اضرب $- 3$ في $64$ .

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.5

اضرب $24$ في $16$ .

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.6

أضف $- 192$ و $384$ .

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.7

اضرب $- 64$ في $4$ .

$192 - 256 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.8

اطرح $256$ من $192$ .

$- 64 + 64$

خطوة 3.7.6.19.2.3.9

أضف $- 64$ و $64$ .

$0$

خطوة 3.7.6.19.2.4

بما أن $4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

خطوة 3.7.6.19.2.5

اقسِم $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ على $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.19.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

خطوة 3.7.6.19.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

خطوة 3.7.6.19.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

خطوة 3.7.6.19.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

خطوة 3.7.6.19.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

خطوة 3.7.6.19.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

خطوة 3.7.6.19.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 x^{2} - 48 x$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

خطوة 3.7.6.19.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

خطوة 3.7.6.19.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 16 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 16 x + 64$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

خطوة 3.7.6.19.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

خطوة 3.7.6.19.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

خطوة 3.7.6.19.2.6

اكتب $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ في صورة مجموعة من العوامل.

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.7.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.7.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.7.7.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 3.7.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.3.1

أخرِج العامل $x$ من $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 3.7.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

خطوة 3.7.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

خطوة 3.7.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 3.7.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $x - 4$ و ${(x - 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.4.1

أخرِج العامل $x - 4$ من $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 3.7.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.4.2.1

أخرِج العامل $x - 4$ من $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

خطوة 3.7.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

خطوة 3.7.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.9

أخرِج العامل $- 1$ من $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.11

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.13

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3.7.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

خطوة 3.7.16

اضرب $\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

خطوة 5.1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ بالصيغة ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

خطوة 5.1.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

خطوة 5.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 5.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 5.1.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

خطوة 5.1.3.6

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 5.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 5.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

خطوة 5.1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.6

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.7.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.7.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.7.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

خطوة 5.1.4.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.8

اضرب $- 2 x + 4$ في $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.9.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.9.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.9.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.9.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.11

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.13

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$16 (x - 2) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $16 (x - 2) = 0$ على $16$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في $16 (x - 2) = 0$ على $16$ .

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 6.3.1.2.1.2

اقسِم $x - 2$ على $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{16}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $16$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 6.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.2

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 7.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 7.2.2.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 7.2.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 7.2.2.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 4)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 7.2.3.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 7.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 7.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = 0, x = 4$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

خطوة 10.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

خطوة 10.1.3

اضرب $- 12$ في $2$ .

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

خطوة 10.1.4

اطرح $24$ من $12$ .

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

خطوة 10.1.5

أضف $- 12$ و $16$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $4$ من $2$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

خطوة 10.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

خطوة 10.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $16$ في $4$ .

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

خطوة 10.3.2

اضرب $8$ في $- 8$ .

$\frac{64}{- 64}$

خطوة 10.3.3

اقسِم $64$ على $- 64$ .

$- 1$

خطوة 11

$x = 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 12.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

خطوة 12.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2 - 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.1.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.2.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

خطوة 12.2.1.2.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 12.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

خطوة 12.2.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

خطوة 12.2.3

اقسِم $2$ على $- 1$ .

$f (2) = - 2$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ .

$(2, - 2)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 14