حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{a x + b}{a^{2} x^{2} + b^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ هو $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ حيث $f (b) = a x + b$ و $g (b) = a^{2} x^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x + b$ بالنسبة إلى $b$ هو $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $a x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $b$ ، فإن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $b$ هو $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ هو $n b^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{2} x^{2} + b^{2}$ بالنسبة إلى $b$ هو $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $a^{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $b$ ، فإن مشتق $a^{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $b$ هو $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ هو $n b^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + 2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $0$ و $2 b$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 + (- (a x) - b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $a^{2}$ في $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $b^{2}$ في $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b \cdot b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $b$ في $b$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

انقُل $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 (b \cdot b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

اضرب $b$ في $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $2 b^{2}$ من $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} x^{2} - b^{2} - 2 a x b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- b^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- b^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2})$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 a b x$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ بالصيغة $- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ .

$\frac{- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$