حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.6.1

انقُل $x$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.6.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.6.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.7

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

اطرح $8 x^{5}$ من $16 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $8 x^{3}$ من $8 x^{5} + 16 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $8 x^{3}$ من $8 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $8 x^{3}$ من $16 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $8 x^{3}$ من $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.4.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أخرِج العامل $8$ من $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$