حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = \sqrt{t}$ و $g (t) = 2 t - 3$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t - 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 10

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 10.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 11.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.2

اجمع $t$ و $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.3

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.4

اضرب $t$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

اضرب $t$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.4.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.5

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

لكتابة $t^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.2

اجمع $t^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.2

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $t^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.4.2.1

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.2.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.4.3

بسّط $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.5

لكتابة $- 2 \sqrt{t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.6

اجمع $- 2 \sqrt{t}$ و $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.8.1

اضرب $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.8.1.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.8.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.2

بسّط.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.3.8.3

اطرح $4 t$ من $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.5

اضرب $\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.7

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.9

أعِد كتابة $- (2 t + 3)$ بالصيغة $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

خطوة 12.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$