حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{{(4 x - 3)}^{8}}$ , $x = 1$

خطوة 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ .

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

خطوة 1.2.2

بسّط $\frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 3)}^{8}}$

خطوة 1.2.2.1.2

اطرح $3$ من $4$ .

$y = \frac{1}{1^{8}}$

خطوة 1.2.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{1}{1}$

خطوة 1.2.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$y = 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{({(4 x - 3)}^{8})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(4 x - 3)}^{8})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{8 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.2.3

اضرب ${(4 x - 3)}^{8}$ في $1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = 4 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 {(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل ${(4 x - 3)}^{7}$ من ${(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل ${(4 x - 3)}^{7}$ من ${(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.4.2.2

أخرِج العامل ${(4 x - 3)}^{7}$ من $- 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.4.2.3

أخرِج العامل ${(4 x - 3)}^{7}$ من ${(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

خطوة 2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل ${(4 x - 3)}^{7}$ من ${(4 x - 3)}^{16}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.9

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.11

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $4$ في $- 8$ .

$\frac{4 x - 3 - 32 x}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.11.3

اطرح $32 x$ من $4 x$ .

$\frac{- 28 x - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 28 x$ .

$\frac{- (28 x) - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.12.2

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x) - 1 (3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.12.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (28 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.12.4

أعِد كتابة $- (28 x + 3)$ بالصيغة $- 1 (28 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{28 x + 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

خطوة 2.13

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- \frac{28 (1) + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

خطوة 2.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1.1

اضرب $28$ في $1$ .

$- \frac{28 + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

خطوة 2.14.1.2

أضف $28$ و $3$ .

$- \frac{31}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

خطوة 2.14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{31}{{(4 - 3)}^{9}}$

خطوة 2.14.2.2

اطرح $3$ من $4$ .

$- \frac{31}{1^{9}}$

خطوة 2.14.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{31}{1}$

خطوة 2.14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.3.1

اقسِم $31$ على $1$ .

$- 1 \cdot 31$

خطوة 2.14.3.2

اضرب $- 1$ في $31$ .

$- 31$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- 31$ ونقطة مُعطاة $(1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 31 \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- 31 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - 31 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - 31 x - 31 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $- 31$ في $- 1$ .

$y - 1 = - 31 x + 31$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 31 x + 31 + 1$

خطوة 3.3.2.2

أضف $31$ و $1$ .

$y = - 31 x + 32$

خطوة 4