حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

خطوة 2.2

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استبدِل $- 4 \sin^{2} (x)$ بـ $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2.4.3

اطرح $4$ من $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

خطوة 2.4.5

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

خطوة 2.4.6

أخرِج العامل $2$ من $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

خطوة 2.4.6.2

أخرِج العامل $2$ من $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

خطوة 2.4.6.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 2.4.6.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 2.4.6.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

خطوة 2.4.7

اقسِم كل حد في $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

اقسِم كل حد في $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.4.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.4.7.2.1.2

اقسِم $2 u^{2} + 3 u - 1$ على $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 2.4.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

خطوة 2.4.8

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.4.9

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 3$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.10.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.10.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.10.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.10.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.10.1.3

أضف $9$ و $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.11

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.11.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.11.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.11.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.11.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.11.1.3

أضف $9$ و $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.11.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.11.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.11.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

خطوة 2.4.11.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

خطوة 2.4.11.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.12

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.12.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.12.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.12.1.3

أضف $9$ و $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.12.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.12.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.12.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

خطوة 2.4.12.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

خطوة 2.4.12.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.13

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.14

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.15

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

خطوة 2.4.16

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.16.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

خطوة 2.4.16.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.16.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

خطوة 2.4.16.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

خطوة 2.4.16.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.16.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

خطوة 2.4.16.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.16.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

خطوة 2.4.16.4.2.2

اطرح $1.28619336$ من $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

خطوة 2.4.16.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.16.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.4.16.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.16.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.4.16.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.4.16.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4.17

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.17.1

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 2.4.18

اسرِد جميع الحلول.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 1.28619336$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 4.99699194$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 4.99699194 + 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4.99699194 + 2 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أضف $4.99699194$ و $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

خطوة 4.3.2.2

أضف $4.99699194$ و $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

خطوة 4.4

احسِب القيمة في $x = 4.99699194 + 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4.99699194 + 4 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

خطوة 4.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أضف $4.99699194$ و $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

خطوة 4.4.2.2

أضف $4.99699194$ و $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

خطوة 4.4.2.3

اضرب $2$ في $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

خطوة 4.5

احسِب القيمة في $x = 4.99699194 + 6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4.99699194 + 6 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

خطوة 4.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

أضف $4.99699194$ و $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

خطوة 4.5.2.2

أضف $4.99699194$ و $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

خطوة 4.5.2.3

اضرب $2$ في $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

خطوة 4.6

احسِب القيمة في $x = 4.99699194 + 8 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4.99699194 + 8 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

خطوة 4.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

أضف $4.99699194$ و $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

خطوة 4.6.2.2

أضف $4.99699194$ و $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

خطوة 4.6.2.3

اضرب $2$ في $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

خطوة 4.7

اسرِد جميع النقاط.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5