حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) - x \cos (x)$

خطوة 1

اكتب $\sin (x) - x \cos (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) - x \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2.3

اطرح $\cos (x)$ من $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

خطوة 2.1.4.2.4

أضف $x \sin (x)$ و $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x \sin (x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ادمج $0$ و $2 π n$ في $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6.2

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $π n$ .

$π n$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = x \sin (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ هو $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π n - 1$ في العبارة.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (π n - 1)$ بالصيغة $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

خطوة 6.3

المشتق في $x = π n - 1$ هو $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π n + 1$ في العبارة.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

خطوة 7.2.2

اضرب $\sin (π n + 1)$ في $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

خطوة 7.3

المشتق في $x = π n + 1$ هو $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(π n, \infty)$ .

تزايد خلال $(π n, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(π n, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, π n)$

خطوة 9