حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 - 8 \sin (x)$

خطوة 1

اكتب $8 - 8 \sin (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 8 - 8 \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - 8 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

خطوة 2.1.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 - 8 \cos (x)$

خطوة 2.1.3

اطرح $8 \cos (x)$ من $0$ .

$f' (x) = - 8 \cos (x)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 8 \cos (x)$ .

$- 8 \cos (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 8 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $- 8 \cos (x) = 0$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $- 8 \cos (x) = 0$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 \cos (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 \cos (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 8}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 8$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.6.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 8 \cos (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 8 - 8 \sin (x)$ هو $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ هو $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 7.3

بسّط.

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 7.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ هو $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

خطوة 9