حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

خطوة 1

اكتب $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ في صورة دالة.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $2 \cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 2.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 2.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 \sin (θ)$ من $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 \sin (θ)$ من $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2 \sin (θ)$ من $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2 \sin (θ)$ من $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (θ) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (0)$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 3.4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - 0$

خطوة 3.4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$θ = π$

خطوة 3.4.2.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $- \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $- \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $- \cos (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- \cos (θ) = 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

خطوة 3.5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (- 1)$

خطوة 3.5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$θ = π$

خطوة 3.5.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π - π$

خطوة 3.5.2.6

اطرح $π$ من $2 π$ .

$θ = π$

خطوة 3.5.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.5.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.7

وحّد الإجابات.

$θ = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $π n$ .

$π n$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ هو $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $θ$ بـ $π n - 1$ في العبارة.

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $θ = π n - 1$ هو $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, π n)$ حيث إن $f' (θ) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $θ$ بـ $π n + 1$ في العبارة.

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

خطوة 7.3

بسّط.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

خطوة 7.4

المشتق في $θ = π n + 1$ هو $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(π n, \infty)$ حيث إن $f' (θ) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

خطوة 9