حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{4}}{x - 15}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x - 15$ .

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $x - 15$ .

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.3

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

اضرب $4$ في $- 15$ .

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2

اطرح $x^{4}$ من $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{4} - 60 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.2

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $- 60 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.3

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.3.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 20$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x - 20$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 20 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أضف $20$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 20$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 x^{3} (x - 20) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 20$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 20$ .

$0, 20$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 15)}^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x - 15$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 15 = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 15$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اطرح $20$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 21$ في $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $15$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 63$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{63}{256}$ .

$\frac{63}{256}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $\frac{63}{256}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 15)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{15}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $3$ و $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

لكتابة $- 20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

اجمع $- 20$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.6.1

اضرب $- 20$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6.2

اطرح $40$ من $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.8.1

أخرِج السالب.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8.2

اضرب $\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ في $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8.3

اضرب $25$ في $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8.4

اضرب $2^{3}$ في $2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.8.4.1

اضرب $2^{3}$ في $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.8.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8.4.2

أضف $3$ و $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.11

اضرب $75$ في $3375$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $- 15$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $- 15$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $- 15$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4.2

اطرح $30$ من $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 8.2.2.9

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

خطوة 8.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

خطوة 8.2.2.11

اضرب $\frac{225}{4}$ في $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

خطوة 8.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

خطوة 8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $225$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{253125}{16}$ إلى بسط الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

خطوة 8.2.4.2

أخرِج العامل $225$ من $- 253125$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

خطوة 8.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

خطوة 8.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

خطوة 8.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

خطوة 8.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

خطوة 8.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

خطوة 8.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1125}{4}$ .

$- \frac{1125}{4}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{15}{2}$ هو $- \frac{1125}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 15)$ .

تناقص خلال $(0, 15)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(15, 20)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{35}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اجمع $3$ و $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

لكتابة $- 20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.4

اجمع $- 20$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.6.1

اضرب $- 20$ في $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.6.2

اطرح $40$ من $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.8.1

أخرِج السالب.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8.2

اضرب $\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ في $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8.3

اضرب $5$ في $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8.4

اضرب $2^{3}$ في $2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.8.4.1

اضرب $2^{3}$ في $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.8.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.8.4.2

أضف $3$ و $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.9

ارفع $35$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.11

اضرب $15$ في $42875$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

لكتابة $- 15$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اجمع $- 15$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.4.1

اضرب $- 15$ في $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

خطوة 9.2.2.4.2

اطرح $30$ من $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 9.2.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 9.2.2.6

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

خطوة 9.2.2.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 9.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{643125}{16}$ إلى بسط الكسر.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 9.2.4.2

أخرِج العامل $25$ من $- 643125$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 9.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 9.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

خطوة 9.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

خطوة 9.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

خطوة 9.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

خطوة 9.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

خطوة 9.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{25725}{4}$ .

$- \frac{25725}{4}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = \frac{35}{2}$ هو $- \frac{25725}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(15, 20)$ .

تناقص خلال $(15, 20)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(20, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $21$ في العبارة.

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

اطرح $20$ من $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

خطوة 10.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

خطوة 10.2.1.3

ارفع $21$ إلى القوة $3$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $15$ من $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

خطوة 10.2.2.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

خطوة 10.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $3$ في $9261$ .

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

خطوة 10.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $27783$ و $36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27783$ .

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

خطوة 10.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $36$ .

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

خطوة 10.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

خطوة 10.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

خطوة 10.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{3087}{4}$ .

$\frac{3087}{4}$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 21$ هو $\frac{3087}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(20, \infty)$ .

تزايد خلال $(20, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 11

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (20, \infty)$

تناقص خلال: $(0, 15), (15, 20)$

خطوة 12