حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

خطوة 1

اكتب ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.8.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.10

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.11

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.12

اجمع $2$ و $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.13

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.14

اجمع $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ و $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.2.15

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

خطوة 2.1.3.2

أضف $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

خطوة 5.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

خطوة 5.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ في صورة ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.4

بسّط.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.6

اضرب $27$ في $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x^{2} - 27 = 0$

خطوة 5.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $27$ إلى كلا المتعادلين.

$27 x^{2} = 27$

خطوة 5.3.3.2

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 27$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 27$ على $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

خطوة 5.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

خطوة 5.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

خطوة 5.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.3.1

اقسِم $27$ على $27$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 5.3.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.3.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.3.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.3.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.3.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 5.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 1, x = 1$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $4$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.3

اضرب $3$ في $3^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $3$ في $3^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 7.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

خطوة 7.2.3.4

أضف $3$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.5.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 8.2.2.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 8.2.2.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 8.2.2.8

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 8.2.2.9

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 8.2.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 8.2.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 8.2.2.11

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 8.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.4.2

اجمع $- 3$ و $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أخرِج السالب.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5.2

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.5.6

أضف $3$ و $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 8.2.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

خطوة 8.2.8.2

اجمع $2$ و $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.4

اضرب الأُسس في ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.8.8

أضف $3$ و $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.2.9

الإجابة النهائية هي $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - \frac{1}{2}$ هو $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, 0)$ .

تزايد خلال $(- 1, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.5.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 9.2.2.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 9.2.2.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 9.2.2.8

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 9.2.2.9

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 9.2.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 9.2.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

خطوة 9.2.2.11

احسِب قيمة الأُس.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 9.2.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 9.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.4.2

اجمع $- 3$ و $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج السالب.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5.2

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.5.6

أضف $3$ و $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 9.2.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

خطوة 9.2.8

اضرب $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.2

اجمع $- 2$ و $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.3

أخرِج السالب.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.5

اضرب الأُسس في ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.8.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.5.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.8.9

أضف $3$ و $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.2.10

الإجابة النهائية هي $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 1)$ .

تناقص خلال $(0, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.3

اضرب $3$ في $3^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $3$ في $3^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 10.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

خطوة 10.2.3.4

أضف $3$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 2$ هو $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 11

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 1, 0), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

خطوة 12