حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

خطوة 1

اكتب $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ في صورة دالة.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $136$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ بالصيغة ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.6

بما أن $0.25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t - 4.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 4.5$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.10

بما أن $- 4.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 4.5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.12

اضرب $2$ في $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.13

اضرب $2$ في $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.14

أضف $0$ و $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.15

اضرب $0.5$ في $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.2.16

اضرب $- 0.5$ في $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

خطوة 2.1.3

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $28$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

خطوة 2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اجمع $- 68$ و $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

خطوة 2.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

خطوة 2.1.4.2.3

أضف $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ و $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

خطوة 2.1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.5

اضرب $- 1$ في $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.1

أعِد كتابة ${(t - 4.5)}^{2}$ بالصيغة $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.2

وسّع $(t - 4.5) (t - 4.5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.3.1.2

انقُل $- 4.5$ إلى يسار $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.3.1.3

اضرب $- 4.5$ في $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.3.2

اطرح $4.5 t$ من $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.5.1

اضرب $- 9$ في $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.5.2

اضرب $0.25$ في $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.6

أضف $1$ و $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.7

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.6.7.1

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.7.2

أخرِج العامل $0.0625$ من $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.7.3

أخرِج العامل $0.0625$ من $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.7.4

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.7.5

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.8

طبّق قاعدة الضرب على $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6.9

ارفع $0.0625$ إلى القوة $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.7

أخرِج العامل $68$ من $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.8

أخرِج العامل $0.00390625$ من $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

خطوة 2.1.4.9

افصِل الكسور.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

خطوة 2.1.4.10

اقسِم $68$ على $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

خطوة 2.1.4.11

اجمع $17408$ و $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.12

اضرب $- t + 4.5$ في $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.13.1

أخرِج العامل $0.5$ من $- t + 4.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.13.1.1

أخرِج العامل $0.5$ من $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.13.1.2

أخرِج العامل $0.5$ من $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.13.1.3

أخرِج العامل $0.5$ من $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.13.2

اضرب $17408$ في $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.15

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.16

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.17

أعِد كتابة $- (2 t - 9)$ بالصيغة $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.1.4.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8704 (2 t - 9) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $8704 (2 t - 9) = 0$ على $8704$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اقسِم كل حد في $8704 (2 t - 9) = 0$ على $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8704$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

خطوة 3.3.1.2.1.2

اقسِم $2 t - 9$ على $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$2 t = 9$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $2 t = 9$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 t = 9$ على $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ هو $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{9}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $\frac{7}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $8704$ في $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $- 18$ في $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.7

اطرح $126$ من $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.8

أضف $- 77$ و $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

خطوة 6.2.2.9

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 17408$ و $400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

أخرِج العامل $16$ من $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

خطوة 6.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $16$ من $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

خطوة 6.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

خطوة 6.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

خطوة 6.3

المشتق في $t = \frac{7}{2}$ هو $\frac{1088}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{9}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (t) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{9}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $\frac{11}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $8704$ في $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $- 18$ في $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

اطرح $198$ من $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

أضف $- 77$ و $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

خطوة 7.2.2.9

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $17408$ و $400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $16$ من $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $16$ من $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

خطوة 7.3

المشتق في $t = \frac{11}{2}$ هو $- \frac{1088}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{9}{2}, \infty)$ حيث إن $f' (t) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, \frac{9}{2})$

تناقص خلال: $(\frac{9}{2}, \infty)$

خطوة 9