حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{6}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(2 x - 5)}^{- 1}$ و $g (x) = {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{6}] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{6}$ و $g (x) = x^{2} - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $6$ إلى يسار ${(2 x - 5)}^{- 1}$ .

$6 \cdot {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \cdot 1) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 3.6

اضرب $- 5$ في $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 4

ارفع $2 x - 5$ إلى القوة $1$ .

$6 ({(2 x - 5)}^{1} {(2 x - 5)}^{- 1}) {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 {(2 x - 5)}^{1 - 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $1$ من $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{0} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 6.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$6 \cdot 1 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 6.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

خطوة 8.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

خطوة 8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

خطوة 8.4

اضرب $2$ في $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

خطوة 8.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + 0))$

خطوة 8.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \cdot 2)$

خطوة 8.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 {(2 x - 5)}^{- 2})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}})$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{- 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}})$

خطوة 9.2.3

اجمع ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ و $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{6} \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.4

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.5

لكتابة $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}} - \frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2} - 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ من $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1.1

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ من $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.1.2

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ من $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.1.3

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ من $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x \cdot x - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 5 x$ .

$\frac{2 {(x \cdot x + x \cdot - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{2 {(x (x - 5))}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.3

طبّق قاعدة الضرب على $x (x - 5)$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} - (- 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.3

أعِد كتابة ${(2 x - 5)}^{2}$ بالصيغة $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 ((2 x - 5) (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.4

وسّع $(2 x - 5) (2 x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.4

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.1.6

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.5.2

اطرح $10 x$ من $- 10 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 20 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.7.1

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.7.2

اضرب $- 20$ في $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.4.7.3

اضرب $3$ في $25$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.5

أضف $- x^{2}$ و $12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} + 5 x - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.6

اطرح $60 x$ من $5 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} - 55 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$