حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\csc (7 x - 1))}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = \csc (7 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 7 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

خطوة 2.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.4

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + 0))$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \cdot 7)$

خطوة 3.6.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1))$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1)$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.2

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.4.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.6

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.7

اجمع $- 7$ و $\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 7 (2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.8

اضرب $2$ في $- 7$ .

$\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

خطوة 4.1.9

اجمع $\cot (7 x - 1)$ و $\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} \csc (7 x - 1)$

خطوة 4.1.10

اجمع $\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3}$ و $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}) \csc (7 x - 1)}{3}$

خطوة 4.1.11

ارفع $\csc (7 x - 1)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 (\csc^{1} (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}))}{3}$

خطوة 4.1.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{1 - \frac{1}{3}})}{3}$

خطوة 4.1.13

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}})}{3}$

خطوة 4.1.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3 - 1}{3}})}{3}$

خطوة 4.1.15

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3}$

خطوة 4.1.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\cot (7 x - 1) \cdot 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 4.1.17

انقُل $14$ إلى يسار $\cot (7 x - 1)$ .

$- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cot (7 x - 1)}{3}$