حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{3}$ و $g (z) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 2.2

بما أن $x^{2} y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $x^{2} y^{3}$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [3 x z]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $3 x z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $3 x \frac{d}{d z} [z]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $y^{2} z^{3}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 4.3

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + \frac{d}{d z} [11])$

خطوة 5

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أضف $0$ و $3 x$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

خطوة 6.1.2

أضف $3 x + 3 y^{2} z^{2}$ و $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2})$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 y^{2} z^{2} + 3 x)$