حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \tan^{-1} (t)$ و $g (t) = \sqrt{4 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

خطوة 1.2

مشتق $\tan^{-1} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ بالصيغة $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

خطوة 2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 12

اجمع $2$ و $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 13

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{t}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\sqrt{t})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{t}}^{2}$ بالصيغة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.5.5

بسّط.

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.1.6

اضرب $\frac{1}{1 + 4 t}$ في $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$