حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + 6 x + 6$ , $y = 2 - x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + 6 x + 6 + x^{2} = 2$

خطوة 1.2.1.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 6 x + 6 = 2$

خطوة 1.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} + 6 x + 6 - 2 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $2$ من $6$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 6 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 6 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) + 4 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

حلّل $x^{2} + 3 x + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $3$ .

$1, 2 + y = 2 - x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((x + 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x + 1) (x + 2) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 2 - x^{2}$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x + 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$y = 2 - {(- 1)}^{2}$

خطوة 1.3.2

بسّط $2 - {(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

خطوة 1.3.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 2 + {(- 1)}^{1 + 2}$

خطوة 1.3.2.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{3}$

خطوة 1.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$y = 2 - 1$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$y = 1$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$y = 2 - {(- 2)}^{2}$

خطوة 1.4.2

بسّط $2 - {(- 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = 2 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = 2 - 4$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $4$ من $2$ .

$y = - 2$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $2$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{2} + 6 x + 6 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - (x^{2} + 6 x + 6) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 2 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 6$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 6$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6$

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6 d x$

خطوة 4.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 - 6 x - 6$

خطوة 4.3.2

اطرح $6$ من $2$ .

$- 2 x^{2} - 6 x - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} - 6 x - 4 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.8

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 \int_{- 2}^{- 1} x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$- 2 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $- 4 x$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.6

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \frac{- 1 + 8}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8

أضف $- 1$ و $8$ .

$- 2 (\frac{7}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.9

اجمع $- 2$ و $\frac{7}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.10

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{- 14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.13

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.15

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.16

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.17

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.19.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 4}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.19.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{- 3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{14}{3} - 6 (- \frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.21

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$- \frac{14}{3} + 6 (\frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.22

اجمع $6$ و $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{6 \cdot 3}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.23

اضرب $6$ في $3$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{18}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.24.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.24.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (1)} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{14}{3} + \frac{9}{1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$- \frac{14}{3} + 9 + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.25

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.26

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.27

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 14 + 9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.28

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.28.1

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{- 14 + 27}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.28.2

أضف $- 14$ و $27$ .

$\frac{13}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.29

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{13}{3} + 4 + 4 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.30

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{13}{3} + 4 - 8$

خطوة 4.12.4.31

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{13}{3} - 4$

خطوة 4.12.4.32

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.12.4.33

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.4.34

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{13 - 4 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.4.35

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.35.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$\frac{13 - 12}{3}$

خطوة 4.12.4.35.2

اطرح $12$ من $13$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 5