حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + 2$ , $y = 3 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + 2 = 3 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل $x^{2} + 2 - 3 x$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 2, - 1 + y = 3 x$

خطوة 1.2.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0 + y = 3 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = 3 (2)$

خطوة 1.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = 6$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = 3 (1)$

خطوة 1.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$y = 3$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 6)$

$(1, 3)$

$(2, 6)$

$(1, 3)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{2} 3 x d x - \int_{1}^{2} x^{2} + 2 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{2} 3 x - (x^{2} + 2) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x - x^{2} - 1 \cdot 2$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 x - x^{2} - 2$

$\int_{1}^{2} 3 x - x^{2} - 2 d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} 3 x d x + \int_{1}^{2} - x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 d x$

خطوة 3.10

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 2 x]_{1}^{2}$

خطوة 3.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $1$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 2 x]_{1}^{2}$

خطوة 3.11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2 x]_{1}^{2}$

خطوة 3.11.3

احسِب قيمة $- 2 x$ في $2$ وفي $1$ .

$3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$3 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$3 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (2 - \frac{1}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.4

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.5

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.7.1

اضرب $2$ في $2$ .

$3 \frac{4 - 1}{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.7.2

اطرح $1$ من $4$ .

$3 (\frac{3}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.8

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.9

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{9}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{2} - \frac{8 - 1}{3} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.13

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{9}{2} - \frac{7}{3} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.14

لكتابة $\frac{9}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.15

لكتابة $- \frac{7}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.16

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.16.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.16.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.16.3

اضرب $\frac{7}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.16.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{7 \cdot 2}{6} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 \cdot 3 - 7 \cdot 2}{6} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.18.1

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{27 - 7 \cdot 2}{6} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.18.2

اضرب $- 7$ في $2$ .

$\frac{27 - 14}{6} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.18.3

اطرح $14$ من $27$ .

$\frac{13}{6} + (- 2 \cdot 2) + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.19

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{13}{6} - 4 + 2 \cdot 1$

خطوة 3.11.4.20

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{13}{6} - 4 + 2$

خطوة 3.11.4.21

أضف $- 4$ و $2$ .

$\frac{13}{6} - 2$

خطوة 3.11.4.22

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 3.11.4.23

اجمع $- 2$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.11.4.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{13 - 2 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.11.4.25

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.25.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$\frac{13 - 12}{6}$

خطوة 3.11.4.25.2

اطرح $12$ من $13$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 4