حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{2 x} = e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$2 x = 5 x$

خطوة 1.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

اطرح $5 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x - 5 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

اطرح $5 x$ من $2 x$ .

$- 3 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

اقسِم كل حد في $- 3 x = 0$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 x = 0$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 1.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 1.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

خطوة 1.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 3$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = e^{5 (0)}$

خطوة 1.3.2

بسّط $e^{5 (0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$y = e^{0}$

خطوة 1.3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = 1$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 1)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.4

لنفترض أن $u_{1} = 5 x$ . إذن $d u_{1} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

افترض أن $u_{1} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.4.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 3.4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

خطوة 3.4.3

اضرب $5$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

خطوة 3.4.5

اضرب $5$ في $1$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 3.4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.5

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

خطوة 3.9

لنفترض أن $u_{2} = 2 x$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

افترض أن $u_{2} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.9.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 3.9.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.9.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

خطوة 3.9.5

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.9.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.9.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3.10

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 3.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 3.12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

خطوة 3.13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

احسِب قيمة $e^{u_{1}}$ في $5$ وفي $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

خطوة 3.13.2

احسِب قيمة $e^{u_{2}}$ في $2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

خطوة 3.13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

خطوة 3.13.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

خطوة 3.13.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.13.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

خطوة 3.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

خطوة 3.14.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

خطوة 3.14.1.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

خطوة 3.14.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

خطوة 3.14.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 3.14.1.6

اجمع $e^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 3.14.1.7

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.14.1.7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.14.2

لكتابة $- \frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.14.3

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.14.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $10$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.4.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.14.4.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.14.4.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

خطوة 3.14.4.4

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

خطوة 3.14.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

خطوة 3.14.6

أضف $- 2$ و $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

خطوة 4