حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط $\frac{4}{9} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

خطوة 1.2.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

خطوة 1.2.1.3

اجمع $\frac{4}{9}$ و $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

خطوة 1.2.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.2.2

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

انقُل $9$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.2.5.2

أضف $4 x^{2}$ و $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

خطوة 1.2.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$13 x^{2} = 13$

خطوة 1.2.4

اقسِم كل حد في $13 x^{2} = 13$ على $13$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اقسِم كل حد في $13 x^{2} = 13$ على $13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

خطوة 1.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

اقسِم $13$ على $13$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 1.2.6

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 1.2.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 1.2.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 1.2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

خطوة 1.3.2.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 1.3.2.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

خطوة 1.3.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

خطوة 1.3.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

خطوة 1.3.2.2.5.2

اطرح $9$ من $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

خطوة 2

اجمع $\frac{4}{9}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

خطوة 3

أعِد ترتيب $\frac{13}{9}$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

خطوة 4

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

خطوة 5.2

لكتابة $- x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

خطوة 5.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $- x^{2}$ و $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

خطوة 5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

خطوة 5.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

خطوة 5.3.4

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

خطوة 5.3.5

اطرح $4 x^{2}$ من $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $13$ من $- 13 x^{2} + 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $13$ من $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $13$ من $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $13$ من $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

خطوة 5.4.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

خطوة 5.4.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

خطوة 5.5

بما أن $\frac{13}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{13}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

خطوة 5.6.4

أعِد ترتيب $x$ و $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

خطوة 5.6.5

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

خطوة 5.6.6

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

خطوة 5.6.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

خطوة 5.6.8

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

خطوة 5.6.9

أخرِج السالب.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

خطوة 5.6.10

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

خطوة 5.6.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

خطوة 5.6.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

خطوة 5.6.13

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

خطوة 5.6.14

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

خطوة 5.6.15

اطرح $x^{2}$ من $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

خطوة 5.6.16

أعِد ترتيب $1$ و $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

خطوة 5.7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 5.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 5.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 5.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 5.11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

خطوة 5.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

خطوة 5.12.2

احسِب قيمة $x$ في $1$ وفي $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

خطوة 5.12.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

خطوة 5.12.3.9

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 5.12.3.10

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

خطوة 5.12.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.12.3.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.3.12.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

خطوة 5.12.3.12.2

أضف $- 2$ و $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

خطوة 5.12.3.13

اضرب $\frac{13}{9}$ في $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

خطوة 5.12.3.14

اضرب $13$ في $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

خطوة 5.12.3.15

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{52}{27}$

خطوة 6