حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

خطوة 1.2.1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

$1$ اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

خطوة 1.2.1.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.2.1.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.1.6

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x = x$

خطوة 1.2.1.7

عوامل $x^{2}$ هي $x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$x^{2} = x \cdot x$

خطوة 1.2.1.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{1}, x^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.1.9

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ في $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

خطوة 1.2.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $\frac{1}{1^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{1}{1}$

خطوة 1.3.2.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$y = 1$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 1)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.6.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 3.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $2$ وفي $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 3.8.1.2

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $2$ وفي $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 3.8.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

خطوة 3.8.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

خطوة 3.8.1.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

خطوة 3.8.1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

خطوة 3.8.1.3.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

خطوة 3.8.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

خطوة 3.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

خطوة 3.8.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

خطوة 3.8.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

خطوة 4