حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = 1 - \sin (θ)$ , $r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $θ$ في $1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $\sin (θ)$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $\sin (θ)$ من كلا المتعادلين.

$1 - \sin (θ) - \sin (θ) = 2$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $\sin (θ)$ من $- \sin (θ)$ .

$1 - 2 \sin (θ) = 2$

خطوة 1.2.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\sin (θ)$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (θ) = 2 - 1$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$- 2 \sin (θ) = 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (θ) = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (θ) = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

خطوة 1.2.6

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 1.2.7

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 1.2.7.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

خطوة 1.2.8

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.9

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1.2.9.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{11 π}{6}$

خطوة 1.2.10

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $r$ عندما تكون $θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ .

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ عن $θ$ في $r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 1.3.2.2

أعِد ترتيب $\frac{7 π}{6}$ و $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6})$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $r$ عندما تكون $θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ .

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ عن $θ$ في $r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 1.4.2.2

أعِد ترتيب $\frac{11 π}{6}$ و $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6})$

خطوة 1.5

حل سلسلة المعادلات هو جميع القيم التي تجعل السلسلة صحيحة.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

خطوة 1.6

اسرِد جميع الحلول.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

خطوة 2

المساحة المحصورة بين المنحنيين المقدمين غير محدودة.

منطقة غير محدودة

خطوة 3