حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $θ$ في $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $\cos (θ)$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $\cos (θ)$ من كلا المتعادلين.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $\cos (θ)$ من $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $12 \cos (θ) = 6$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $12 \cos (θ) = 6$ على $12$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

خطوة 1.2.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 1.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

خطوة 1.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $r$ عندما تكون $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $\frac{π}{3} + 2 π n$ عن $θ$ في $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.3.2.2

أعِد ترتيب $\frac{π}{3}$ و $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $r$ عندما تكون $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ عن $θ$ في $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.4.2.2

أعِد ترتيب $\frac{5 π}{3}$ و $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

خطوة 1.5

حل سلسلة المعادلات هو جميع القيم التي تجعل السلسلة صحيحة.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

خطوة 1.6

اسرِد جميع الحلول.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

خطوة 2

المساحة المحصورة بين المنحنيين المقدمين غير محدودة.

منطقة غير محدودة

خطوة 3