حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$8 = \sqrt{x}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 = \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

خطوة 1.2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

خطوة 1.2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 8^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

بسّط.

$x = 8^{2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$x = 64$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $64$ .

$y = \sqrt{64}$

خطوة 1.3.2

بسّط $\sqrt{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \sqrt{64}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 8$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(64, 8)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

خطوة 3.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

خطوة 3.1.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

خطوة 3.1.4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

خطوة 3.1.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

خطوة 3.1.6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

خطوة 3.1.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

اجمع $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ و $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

خطوة 3.1.7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ في $64$ وفي $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.2.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.4

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.6

اضرب $2$ في $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.7

اضرب $- 8$ في $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.8

لكتابة $- 512$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.9

اجمع $- 512$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.2.11.1

اضرب $- 512$ في $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.11.2

اطرح $1536$ من $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.13

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.14

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.2.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.16

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.17

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.18

اضرب $- 8$ في $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

خطوة 3.1.7.2.2.19

أضف $0$ و $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

خطوة 3.1.7.2.2.20

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

خطوة 3.1.7.2.2.21

أضف $- \frac{512}{3}$ و $0$ .

$- \frac{512}{3}$

خطوة 3.2

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

خطوة 3.7

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

خطوة 3.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

احسِب قيمة $8 x$ في $64$ وفي $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

خطوة 3.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $64$ وفي $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

اضرب $8$ في $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.2

اضرب $- 8$ في $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.3

أضف $512$ و $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.4

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.7

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.8

اضرب $2$ في $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.9

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.10

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

خطوة 3.9.2.3.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

خطوة 3.9.2.3.13

اضرب $2$ في $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

خطوة 3.9.2.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.14.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

خطوة 3.9.2.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.14.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

خطوة 3.9.2.3.14.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

خطوة 3.9.2.3.15

اضرب $- 1$ في $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

خطوة 3.9.2.3.16

أضف $\frac{1024}{3}$ و $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

خطوة 3.9.2.3.17

لكتابة $512$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

خطوة 3.9.2.3.18

اجمع $512$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

خطوة 3.9.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

خطوة 3.9.2.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.20.1

اضرب $512$ في $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

خطوة 3.9.2.3.20.2

اطرح $1024$ من $1536$ .

$\frac{512}{3}$

خطوة 4